8.2. Случайные величины

8.2.1. Дискретная случайная величина (дсв)

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений. Такая случайная величина характеризуется таблицей, которая называется таблицей распределения:

Здесь – значения случайной величины , а – вероятности этих значений, т.е.

.

По этой таблице можно построить функцию распределения случайной величины .

, где символ под знаком суммы означает, что суммирование идет по тем номерам , для которых .

Пусть – дискретная случайная величина, заданная таблицей распределения, причем расположены в порядке возрастания:

Х

Тогда

График этой функции представлен на рис. 43.

Рис. 43

Пример. Игроку присуждается одно очко, если при подбрасывании монеты выпадает «решетка», и ничего не присуждается в противном случае. Построим график функции распределения выигрыша игрока после трех бросаний монеты. Пусть – выигрыш (число очков) игрока после трех бросаний, – дискретная случайная величина. Таблица распределения имеет вид:

	0	1	2	3

Находим функцию распределения :

Построим график этой функции (рис. 44).

Рис. 44

8.2.2. Непрерывная случайная величина (нсв)

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если существует такая функция , что имеет место следующее равенство:

.

Функция называется плотностью распределения случайной величины и обладает следующими свойствами:

8.2.3. Числовые характеристики случайной величины

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности :

.

Математическим ожиданием НСВ с плотностью называют ее среднее значение, вычисляемое по формуле

.

Математическое ожидание случайной величины может и не существовать, если соответствующая сумма или интеграл расходятся.

Обозначают .

Свойства :

– независимые случайные величины.

Центрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

.

Для ДСВ дисперсия вычисляется по формуле

,

для НСВ

.

Свойства дисперсии:

, причем , если , где – константа;

;

;

, если и – независимые случайные величины;

;

для ДСВ

;

для НСВ

.

Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением) и обозначают через или :

.

есть характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания, само слово «дисперсия» означает «рассеивание».