8. Теория вероятностей

8.1. Случайные события и их вероятности

8.1.1. Случайные события

Под экспериментом следует понимать выполнение определенного комплекса условий. Возможный набор исходов эксперимента будем называть пространством элементарных событий. Точки или элементы этого пространства называются элементарными исходами или элементарными событиями.

Пример 1. Самый простой эксперимент имеет два исхода. Бросание монеты, где исходами являются выпадение «герба» или «решетки», а также испытание промышленных изделий на «дефектность» или «годность» относятся к таким экспериментам. Здесь исходы обозначаются символами «0» и «1». Обычно их называют неудачей и успехом соответственно. Пространство элементарных событий состоит из двух точек .

Пример 2. Бросание правильной игральной кости один раз, где исходами является число очков на выпавшей грани, – пример эксперимента с большим числом исходов. Здесь возможные исходы образуют множество .

Пример 3. Бросание игральной кости дважды, где исходами являются пары – число очков на выпавшей грани, соответственно, первой и второй кости.

Здесь

.

Пусть – произвольное подмножество пространства элементарных событий для некоторого эксперимента. Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного исхода , которое является элементом . Если , то говорят, что произо­шло случайное событие А. Если же это не так, то говорят, что случайное событие не произошло.

Событие, отвечающее всему множеству элементарных исходов, называется достоверным (оно происходит всегда, так как при любом исходе ). Событие, отвечающее пустому множеству , называется невозможным.

События называют несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. События называют равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.

Определение. Суммой двух событий и называют событие , состоящее из элементарных событий, которые входят или в , или в .

.

Определение. Произведением двух событий и называют событие , состоящее из элементарных событий, которые входят и в , и в .

.

Определение. Разностью событий и называют событие , состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит.

.

Событие называют противоположным событию .

8.1.2. Определение вероятности случайного события

1. Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяется раз (т.е. проводится серия из одинаковых и независимых друг от друга экспериментов). Фиксируем случайное событие и предполагаем, что это событие появилось раз. Рассмотрим отношение , которое называется частотой события в данной серии. С ростом колебание этого отношения вокруг некоторого постоянного числа все меньше и в различных сериях практически совпадает при больших , т.е. .

Итак, событию сопоставляется численная характеристика , которая и называется вероятностью события . Такую трактовку понятия «вероятность» называют частотным или статистическим определением вероятности.

Частота обладает следующими свойствами:

2. Классическое определение вероятности.

Определение. События образуют полную систему (или группу) событий, если:

1)   ;

2)   , при .

Пусть образуют полную систему событий. Рассмотрим событие , тогда будем говорить, что событию благоприятствуют из событий .

Теорема. Пусть образуют полную систему событий и равновозможны, и пусть событию благоприятствуют из событий, тогда

.

Пример. В урне имеется белых и красных шаров. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Все исходы равновозможны, их всего : . Событию благоприятствует из исходов, поэтому из теоремы следует ответ: .