6. Операционное исчисление

6.1. Основные понятия

Определение. Преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного , определенная равенством

. (9)

Интеграл в правой части (9) называется интегралом Лапласа.

Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом.

Определение. Функция называется оригиналом, если выполняются три условия:

1.  – кусочно-непрерывна (на каждом отрезке имеет не более чем конечное число точек разрыва, причем считаем, что );

2. ;

3. ,

где – некоторые постоянные (М > 0, S₀ ≥ 0). Число называется показателем роста функции.

Условие (2) вводится в связи с тем, что во многих задачах аргумент рассматривается как время.

Операцию перехода от оригинала к изображению называют преобразованием Лапласа и обозначают ÷ .

В дальнейшем под заданной функцией будем подразумевать произведение этой функции на функцию называемую единичной функцией Хевисайда.

Например, мы будем писать , подразумевая при этом соответственно .

6.2. Основные свойства преобразования Лапласа

1. Свойство линейности. Если ÷ и ÷ , то для любых комплексных постоянных и

÷ .

2. Теорема подобия. Если ÷ , то для любого

÷ .

3. Теорема запаздывания. Если ÷ и , то ÷ .

4. Теорема смещения. Если ÷ , то ÷ , где – действительное число и .

5. Теорема о дифференцировании оригинала. Если функция и все ее производные являются оригиналами и ÷ , то

÷ ;

÷ ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

÷ ,

где .

6. Теорема о дифференцировании изображения. Если ÷ , то ÷ .

Важное теоретическое и прикладное значение имеют еще два свойства преобразования Лапласа – теорема умножения изображений (теорема о свертке) и формула Дюамеля. В их формулировке участвует понятие «свертка».

Определение. Сверткой двух оригиналов и называется функция

. (10)

Комментарии к определению.

1.  Полезно помнить, что аргумент в левой части равенства (10) равен сумме аргументов и τ в правой части этого равенства.

2.  С помощью замены переменных можно легко убедиться в том, что .

3.  Если функции и не равны нулю при t < 0, то под сверткой понимают интеграл

(11)

при условии, что он сходится.

В операционном исчислении рассматривают, как правило, свертки оригиналов, так что интеграл (11) принимает вид (10).

Пример.

Пусть

Тогда .

7. Теорема умножения (теорема о свертке). Пусть ÷ , ÷ .

Тогда произведение двух изображений и также является изображением, причем

÷

или ÷ =

8. Интегралы Дюамеля. Если ÷ и ÷ , то

÷

или

÷ .

С помощью перечисленных выше теорем можно записать таблицу изображений основных функций.