4.8. Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функции на множестве , если для любого выполняется равенство .

Определение. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

То есть .

Таблица интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Метод замены переменной

Метод замены переменной состоит в том, что в интеграл , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную , связанную с переменной соотношением

,

где – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную на некотором интервале изменения .

Таким образом,

.

После того как интеграл найден, возвращаются к первоначальной переменной с помощью подстановки .

Пример.

.

Метод интегрирования по частям

Интегрирования по частям основано на применении формулы

.

Случаи применения формулы по частям.

I. ; ; ; .

II. ; ; ;

; .

Примем: ,  ,

,

,

,

.

III. ; .

Применяется двукратное интегрирование по частям.

Пример.

Интегрирование рациональных функций

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. ,

где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

.

Пример.

=

=

–

–

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

1. Интегралы вида: .

а) Если и нечетное, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

Если и нечетное, то к тому же приводит подстановка .

б) Если оба показателя и положительные и четные, то применяются формулы:

в) Если оба показателя и отрицательные и сумма их четная, то подстановка приводит к интегралу от рациональной функции.

При этом , , .

2. Интеграл вида

путем подстановки сводится к интегралу от рациональной функции, при этом .

3. Интегралы вида: Формулы:

: ;

: ;

: .

Примеры:

1.

.

2.

+ .

3.

.

4.9. Определенный интеграл

Если на , то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 24).

Рис. 24

Формула Ньютона – Лейбница:

,

где – первообразная для .

Интегрирование по частям:

,

где – дифференцируемые функции на .

Замена переменной:

,

где – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке – функция, непрерывная на .

Если – нечетная функция, то .

Если – четная функция, то .