7. Фокусные расстояния тонкой линзы

Если светящаяся точка, лежащая на главной оси, удаляется от линзы, то ее изображение перемещается. Для бесконечно удаленного источника положение изображения оказывается в фокусе линзы (точка F на рис.7). Таким образом, фокус сопряжен бесконечно удаленной точке главной оси. Другими словами, фокус - место схождения лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси. Расстояние от линзы до фокуса f есть фокусное расстояние тонкой линзы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется фокальной плоскостью. Если лучи идут из бесконечности параллельным пучком, но под углом к главной оси (вдоль побочной оси), то они пересекаются в соответствующей точке F фокальной плоскости (рис.7). Таким образом, фокальная плоскость сопряжена бесконечно удаленной плоскости.

Рис.7. Положение фокусов, расположенных на

главной и побочной осях тонкой линзы

Для определения фокусных расстояний рассмотрим следующие соотношения:

п ри а₁ = 

п ри а₂ = 

т. е. f₁ =  f₂ .

Итак, если по обе стороны линзы располагаются одинаковые среды, то фокусные расстояния равны по величине и противоположны по знаку. В зависимости от знака и величины R₁ и R₂ , а также знака (n  1) , величина f₁ может быть положительной или отрицательной, т. е. фокус может быть мнимым или действительным. То же относится и к f₂ , причем нетрудно видеть, что если первый фокус – мнимый, то и второй будет мнимым и наоборот. Если фокусы действительны, т. е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линза называется собирающей или положительной. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются рассеивающими или отрицательными. Вводя фокусное расстояние линзы, придадим формуле линзы вид

где f = f₂ =  f₁.

8. Изображение в тонкой линзе

Построение малого объекта вблизи оптической оси можно выполнить при помощи параксиальных пучков. Поскольку для таких лучей изображение стигматично, то для построения любой точки объекта достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей. Наиболее простое построение выполняется при помощи лучей, указанных на рис.8. Для предмета (малого вертикального отрезка А₁В₁ ) строится изображение его верхней точки В₁ . Через эту точку проводится луч В₁С , параллельный оптической оси. Ему сопряжен луч, проходящий через задний фокус, т. е. луч CF₂B₂. Другой луч B₁ F₁D проведен через передний фокус, поэтому ему сопряжен луч DВ₂ , идущий за линзой параллельно ее оптической оси. Точка пересечения лучей CF₂B₂ и DВ₂ образует изображение В₂ точки В₁ .

Еще один луч можно использовать при построении – луч B₁SB₂ , идущий без преломления вдоль побочной оптической оси. Построение указанных лучей выполняется без затруднений. Всякий другой луч, идущий из В₁ , нужно было бы строить при помощи закона преломления, что гораздо сложнее.

Рис.8. Построение изображения в тонкой линзе

Из свойства гомоцентричности следует, что любой луч, проходящий через точку В₁ , после преломления пройдет через В₂ . Поэтому построение изображения любой точки сводится к геометрической задаче, и нет надобности, чтобы выбранные простейшие пары лучей имели реальный характер. Например, если размер предмета (А₁В₁) больше размеров линзы (например, при фотографировании), то лучи (В₁С и B₁ F₁D) не пройдут через линзу, но могут быть использованы для построения изображения.

О пределим поперечное увеличение (см. п.6) как К = y₂  y₁. Тогда из рис.8 следует

Аналогично изложенному в п.6 следует, что для действительных изображений К  0, т. е. изображение обратное, а для мнимых К  0, т. е. изображение прямое.

Главными плоскостями линзы, как и всякой системы, являются те сопряженные плоскости, для которых К = 1. Для тонкой линзы эти плоскости сливаются в одну, проходящую через оптический центр перпендикулярно к оптической оси. Таким образом, фокусные расстояния линзы, которые должны отсчитываться от главных плоскостей, в случае тонкой линзы отсчитываются от ее поверхности.

Тонкая линза – это простейшая центрированная оптическая система, дающее довольно несовершенное изображение. В большинстве случаев в оптике используются более сложные системы с большим числом преломляющих поверхностей и не ограниченных требованием «тонкости». Однако даже простые тонкие линзы имеют большое значение на практике, главным образом в качестве очковых стекол. Чаще всего очки представляют собой просто тонкие линзы. Для классификации очковых стекол обычно применяется понятие оптической силы линзы. Оптической силой называется величина, обратная заднему фокусному расстоянию линзы. Если фокусное расстояние измерять в метрах, то единицей измерения оптической силы будет обратная величина, называемая диоптрией. Положительные диоптрии соответствуют собирающей линзе, отрицательные – рассеивающей. Например, рассеивающая линза с оптической силой в  5 диоптрий имеет фокусное расстояние 20 см ( f = 15 м).

Экспериментальная часть

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ

СОБИРАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ ЛИНЗ

Методика проведения эксперимента

Существуют разные методы определения фокусных расстояний линз, используемых в сложных оптических системах. Ниже описаны несколько способов экспериментального определения величин фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз. [1].

Определение фокусного расстояния собирающей линзы

Способ 1, основанный на определении расстояний от линзы до предмета и до его изображения.

Помещая предмет перед тонкой собирающей линзой, получают его действительное изображение на экране (рис.8). Измеряя расстояние от линзы до предмета SA₁ = a₁ и от линзы до изображения SA₂ = a₂ , по формуле линзы вычисляют (с учетом правила расстановки знаков) ее фокусное расстояние f:

(1)

Способ 2, основанный на определении величины предмета и его изображения.

Пусть y₁ – величина предмета, y₂ - величина изображения, а₁ и а₂ - соответствующие расстояния от линзы. Эти величины связаны между собой соотношением y₁  y₂ = а₁  а₂ (рис.8). Найдем отсюда

(2)

Подставив (2) в (1), легко получить следующую формулу для вычисления фокусного расстояния линзы:

(3)

Способ 3 (Бесселя), основанный на определении величины перемещения линзы.

Это один из самых точных методов измерения фокусного расстояния линзы. Если расстояние от предмета до изображения более 4f, то всегда найдутся два таких положения линзы, при которых на экране получится отчетливое изображение предмета.

На рис.9 показано положение линзы 1, при котором получается увеличенное изображение C^/B^/, и положение линзы 2, при котором получается уменьшенное изображение C^//B^//. Здесь x₁ - расстояние от предмета до линзы в положении 1, x₂ - расстояние от предмета до линзы в положении 2 , A - расстояние от предмета до изображения, l – величина перемещения линзы из 1 в 2 . Можно заметить, что при обоих положениях линза будет симметрична относительно середины расстояния между предметом и изображением. Действительно, воспользовавшись уравнением (1), можно записать для первого и второго положения линзы:

f = (A – x₁ )x₁ / A и f = (A – l – x₁ )(x₁ + l) / A

Приравнивая, правые части этих уравнений, найдем x₁ . Тогда

A – l – x₁ = (A – l) / 2.

Действительно, в обоих случаях линза находятся на равных расстояниях от предмета и изображения, т. е. ее положение симметрично относительно середины расстояния между ними.

Чтобы получить выражение для фокусного расстояния, рассмотрим одно из расположений линзы, например, когда расстояние от предмета до линзы a₁ = (A – l) / 2, а расстояние от линзы до изображения а₂ = (A + l) / 2. Подставив эти величины в формулу (1), найдем:

(4)

Этот способ является более общим и пригодным как для толстых, так и для тонких линз. Действительно, в предыдущих случаях для расчетов пользовались величинами отрезков, измеренных от центра линзы, пренебрегая ее толщиной. Для толстой линзы эти величины следует измерять от соответствующих главных плоскостей, определение которых довольно затруднительно. В описанном способе эта неточность исключается благодаря тому, что используются не расстояния от линзы, а лишь величина перемещения.

Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы

Способ основан на измерении расстояний от предмета и его изображения до линзы. Так как с помощью только одной рассеивающей линзы невозможно получить действительное изображение предмета, то в этом случае используют также собирающую линзу.

На рис.10 показана схема определения фокусного расстояния рассеивающей линзы. Сначала с помощью собирающей линзы (S₁) получают на экране (положение 1 ) отчетливое изображение L предмета L . Затем ставят рассеивающую линзу (S₂) близко к экрану. Изображение предмета становится нечетким. Для получения четкого изображения L экран передвигают от рассеивающей линзы в положение 2 .

Рис.10. Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы

В силу оптического принципа взаимообратимости световых лучей можно мысленно рассмотреть лучи, распространяющиеся из L в обратную сторону. Тогда точка L будет мнимым изображением точки L после прохождения лучей через рассеивающую линзу S₂ . Полагая S₂ L = a₁ , и S₂ L = a₂ и, замечая, что f и a₂ имеют отрицательные знаки, согласно формуле (1) получим: