6. Увеличение

Выберем в качестве светящегося предмета отрезок А₁ В₁, перпендикулярный к оси, и построим его изображение А₂ В₂ (рис.5). Отношение линейных размеров изображения (y₁ = А₂ В₂) и предмета (y₂ = А₁ В₁) называется линейным (поперечным) увеличением:

Рис.5. К выводу формулы увеличения

Приписывая А₁ В₁ и А₂ В₂ знаки (как в геометрии), получим, что увеличение положительно, если изображение прямое, и отрицательно, если изображение перевернутое.

Из треугольников А₁ В₁S и А₂ В₂ S имеем

При малых размерах А₁ В₁ и А₂ В₂ можно считать, что

т о есть

о ткуда для линейного увеличения получаем

Для преломляющей системы n₁ и n₂ всегда положительны, так что знак К определится знаком отношения а₁/а₂. Для расположений, соответствующих действительному изображению, а₁ и а₂ имеют разные знаки, то есть К отрицательно и изображение перевернутое; для мнимых изображений – наоборот.

И так, каждой точке в пространстве предметов сопряжена определенная точка в пространстве изображений. Плоскость предмета и плоскость его изображения также являются сопряженными по отношению к данной оптической системе. Сопряженные плоскости называются главными, если для них К = 1, т. е. изображение получается прямым и в натуральную величину. С помощью инварианта Аббе можно показать, что для сферической поверхности главные плоскости совпадают между собой и представлены плоскостью, касательной к сфере в точке S, т.е. а₁ = а₂ = 0. В соответствии с этим и фокусные расстояния сферической поверхности следует отсчитывать от главных плоскостей до фокусов.

6. Центрированная оптическая система. Тонкая линза

Преломление только на одной сферической поверхности встречается довольно редко. Большинство реальных преломляющих систем содержит по крайней мере две преломляющие поверхности (линза) или несколько. Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптической осью системы.

Для всех рассуждений, приведенных в п.4, было существенно, что из точки L (рис.3) выходит гомоцентрический пучок лучей, и абсолютно не важно, каким способом он получен. В частности, в L может находиться не точечный источник света, а его стигматическое изображение, полученное с помощью какой-либо иной оптической системы. Следовательно, инвариант Аббе можно применять последовательно к каждой преломляющей поверхности сложной оптической системы

Для центрированной системы сохраняет смысл и понятие главных сопряженных плоскостей, в которых объект и изображение имеют одинаковые величину и направление. Но в то время как для одной преломляющей сферической поверхности обе главные плоскости сливались в одну, для центрированных поверхностей эти две плоскости, вообще говоря, не совпадают.

Простейшей центрированной системой, состоящей из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо преломляющий материал (обычно стекло), является линза. Линза называется тонкой, если обе ее вершины можно считать совпадающими, т. е. если толщина линзы мала по сравнению с радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. На рис.6 для ясности линза изображена толстой.

Рис.6. Преломление в тонкой линзе

В тонкой линзе вершины S₁ и S₂ считают совпадающими и обозначают их одной точкой S, которую называют оптическим центром линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через S, практически не испытывает преломления и называется осью линзы. Ось, проходящая через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные – побочными.

Пусть в точке A₁ расположен источник света (рис.6). После преломления на первой сферической поверхности (без второй преломляющей сферы) изображение оказалось бы в сплошном стекле с показателем преломления n в точке A на расстоянии S A = а , так что

где а₁ = S A₁ , R₁ - радиус кривизны первой поверхности линзы.

Для второй поверхности A является как бы мнимым источником света. Построение изображения этого источника даст точку A₂ на расстоянии а₂ = S A₂ от линзы. Здесь опять применима формула

где R₂ - радиус кривизны второй поверхности .

Для случая n₁ = n₂ (воздух с двух сторон линзы) имеем:

Складывая эти уравнения, получаем:

У читывая, что показатель преломления воздуха (n₁) можно считать равным единице, получим формулу линзы:

Эта общая формула годна для линз выпуклых и вогнутых при любом расположении источника и соответствующем расположении фокуса. Нужно только принять во внимание знаки а₁, а₂, R₁, R₂, считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево от линзы. Если знаки а₁ и а₂ одинаковы, то одна из сопряженных точек – мнимая, т. е. в ней пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения.