4. Преломление света на сферической поверхности
Предположим, что две среды с показателями преломления n1 и n2 разделены сферической поверхностью (рис.3). Расположим источник света в точке L на линии, проходящей через центр сферы (точка О ). Эта линия называется оптической осью. Точку L будем считать гомоцентрическим источником. Тогда после преломления света на сферической поверхности все лучи, исходящие из L, сойдутся в одной точке. На рис.3 - это точка L - изображение источника. Возьмем какой-нибудь луч из пучка, исходящего из L, например LА, падающий на границу раздела под углом . Построим
сопряженный луч АL, пересекающий границу раздела под углом преломления . При этом ограничимся рассмотрением настолько узких пучков, что угол можно считать малым, а отрезки LA и LS приблизительно равными; такое же равенство выполняется для отрезков LA и LS. В оптике такие узкие пучки называются параксиальными (приосевыми), и все дальнейшее рассмотрение будет выполнено в рамках параксиального приближения.
Рис.3. Преломление параксиальных лучей на сферической
границе двух сред
Введем правило знаков: все отрезки вдоль оси LL отсчитываем от точки S, считая их положительными, если они откладываются по ходу луча, и отрицательными – против хода луча. Тогда LS LA = a1, LS LA = a2 , где индексы 1 и 2 соответствуют средам с показателями преломления n1 и n2 . Радиус сферической поверхности SО = АО = R . (Заметим, что на рис.3 радиус кривизны R 0. Такая поверхность называется выпуклой. Если же R 0, то поверхность называется вогнутой.) Из треугольника LAО имеем:
Подставляя в эту формулу LО = a1 + R , LA = a1 , получим
Аналогичным образом из треугольника AОL получим
П
еремножая
два последних уравнения, получим
И
спользуем
теперь закон преломления и перепишем
последнее выражение в виде
О
казалось,
что некоторая величина сохраняет свой
вид после преобразования светового
пучка, пересекающего сферическую границу
раздела двух сред, т.е.
Эта величина получила название инварианта Аббе и чаще всего используется в другой, более удобной форме:
