Условие, определяющее значение X, при котором это время будет минимально, есть равенство нулю производной, т.Е.

Вводя углы падения и преломления ( и  на рис.1), получаем

и ли

Согласно волновой теории Максвелла скорости распространения света в среде ( v ) и в вакууме ( c ) связаны соотношением с = vn, где n – абсолютное значение показателя преломления среды. Тогда последнее выражение приобретает следующий вид:

Таким образом из принципа Ферма вытекает закон преломления световых лучей.

3. Некоторые определения геометрической оптики. Принцип взаимности

В представлениях геометрической оптики каждая светящаяся точка источника является вершиной расходящегося пучка лучей. Такой пучок называется гомоцентричеким, буквально «имеющим общий центр». Если после отражения и преломления этот пучок превращается в пучок, сходящийся также в одну точку, то и последний является гомоцентрическим. Центр его называется изображением светящейся точки. При сохранении гомоцентричности каждая точка источника дает одну точку изображения. Такие изображения называются точечными или стигматическими.

В основе всех построений лучевой оптики лежат законы преломления и отражения света. Рассмотрим еще один важный принцип, который строго соблюдается при явлениях преломления и отражения света – принцип взаимности, или обратимости световых лучей.

Пусть среда 1 отделена от вакуума тонкой плоскопараллельной пластинкой (среда 2 на рис.2); n₁, n₂ – абсолютные показатели преломления соответствующих сред; n₂₁ - относительный показатель преломления.

Рис.2. К выводу закона взаимности при преломлении

И з рис.2 видно, что

Следовательно

Это соотношение справедливо при любой толщине среды 2.Поэтому можно перейти к предельному случаю, когда среда 2 становится исчезающе тонкой, т.е. к случаю непосредственного преломления света из вакуума в среду 1. Тогда имеем sin   sin = n₁. Сопоставляя две последние формулы, найдем n₂₁ = n₁  n₂. Повторяя те же рассуждения для случая, когда тонкий слой среды 1 отделяет среду 2 от вакуума, найдем n₁₂ = n₂  n₁ или n₁₂ = 1  n₂₁, т.е. показатель преломления первой среды относительно второй (n₁₂) равен обратному значению показателя преломления второй среды относительно первой (n₂₁). Таким образом, при преломлении света на границе раздела двух сред лучи остаются взаимными, т.е. при изменении направления лучей на обратное их взаимное расположение не меняется.

В силу взаимной обратимости световых лучей изображение можно рассматривать как источник, а источник – как изображение. Поэтому при стигматическом изображении центры пучков называются сопряженными точками той оптической системы, в которой происходит преобразование расходящегося гомоцентрического пучка в сходящийся. Соответственные лучи и пучки также называются сопряженными.

Поверхность, нормальная к лучам, называется волновой поверхностью. В лучевой оптике волновая поверхность имеет чисто геометрический смысл и не имеет того глубокого содержания, которое в нее вкладывается волновой теорией. Очевидно, что в однородной и изотропной среде волновая поверхность гомоцентрического пучка является сферической поверхностью.