Формули Байеса
У багатьох додатки теорії ймовірностей зустрічається задача переоцінки ймовірностей гіпотез після того, як надійде додаткова інформація об події A. Вважаючи, що до досліду були відомі (апріорні) імовірності гіпотез і умовні імовірності події A при кожній з гіпотез, вирішимо задачу про перебування умовних ймовірностей гіпотез (апостеріорних ймовірностей гіпотез) у припущенні, що подія A здійснилося. По визначенню умовної імовірності
і по формулі множення ймовірностей
Звідси, остаточно, одержуємо формули Байєса
Приклад. Три заводи випускають однакові вироби, причому перший завод робить 50%, другий – 20% і третій – 30% усієї продукції. Перший завод допускає 1% браку, другий – 8% і третій – 3%. Навгад обраний виріб виявився бракованим (подію A).Знайти імовірність того, що воно виготовлено на другому заводі.
Розв’язування. У
нас мається три гіпотези:
- виріб виготовлений на першому заводі,
- на другому заводі і
- на третьому. За умовою задачі
Умовна імовірність того, що бракований виріб виготовлений на другому заводі, визначається формулою Байєса
Задачі для самостійного розвязування
Зважуються дві задачі з завдання відповідно до індивідуальних номерів за наступною схемою.
1) 1, 16 2) 2, 17 3) 3, 18 4) 4, 19 5) 5, 20 6) 6, 21 7) 7, 22 8) 8, 23 9) 9, 24
10) 10, 25 11) 11, 26 12) 12, 27 13) 13, 28 14) 14, 29 15) 15, 30 16) 1, 18 17) 2, 19 18) 3, 20 19) 4, 21 20) 5, 22 21) 6, 23 22) 7, 24 23) 8, 25 24) 9, 26 25) 10, 27
26) 11, 28 27) 12, 29 28) 13, 30 29) 14, 27 30) 15, 22 31) 11, 22 32) 12, 23.
1. Два стрільці по черзі стріляють у мішень. Імовірності влучення для них першими пострілами рівні відповідно 0,4 і 0,5, а імовірності влучення при наступних пострілах для кожного збільшуються на 0,05. Яка імовірність, що першим зробив постріл перший стрілець, якщо при п'ятому пострілі відбулося влучення в мішень?
2. Третя частина однієї з трьох партій деталей є другосортної, інші деталі у всіх партіях першосортні. Деталь, узята навмання з однієї партії, виявилася першосортною. Визначити імовірність того, що деталь була узята з партії, що має другосортні деталі.
3. Чотири стрілки незалежно один від іншого стріляють по одній мішені, роблячи кожний по одному пострілі . Імовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,4, для другого -0,6, для третього -0,7, для четвертого -0,8. Після стрілянини в мішені виявлені 3 пробоїни. Знайти імовірність того, що промахнувся четвертий стрілець.
4. По лінії зв'язку передаються два сигнали А и В з імовірностями 0,84 і 0,16 відповідно. Через перешкоди 1/6 сигналів А спотворюється і приймаються як сигнали В , а 1/8 переданих В-сигналів приймаються як А-сигнали. Якщо відомо, що прийнято сигнал А, яка імовірність, що він же і був переданий?
5. У підрозділі 6 солдатів стріляють відмінно, 8- добре, 13-задовільно і 3-погано. Імовірності поразки мети з першого пострілу для солдатів зазначених груп рівні відповідно 0,9; 08; 06; 0,4. Узятий навгад для перевірки солдатів з першого пострілу вразив ціль. Знайти імовірність того, що солдат, що стріляв, має оцінку вище задовільної.
6. З 18 стрільців 5 попадають у мішень з імовірністю 0,8, 7- з імовірністю 0,7 , 4- з імовірністю 0,6, 2- з імовірністю 0,5. Навгад обраний стрілець у мішень не потрапив. До якої групи імовірніше всего належав цей стрілець?
7. Лічильник реєструє частки трьох типів - А, В и С. Імовірність появи цих часток Р(А) = 0,2; Р(У)= 0,5; Р(З)= 0.3. Частки кожного з цих типів лічильник уловлює з ймовірностями р1=0.8; р2= 0,2; р3= 0.4. Лічильник відзначив частку. Визначити імовірність того, що це була частка типу В.
8. Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить постріл. Ціль уражена. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0.3 для першого стрільця, 0.5- для другого і 0.8 для третього. Знайти імовірність того, що постріл був зроблений другим стрільцем.
9. Імовірності влучення при кожнім пострілі для трьох стрільців рівні відповідно 4/5, 3/4, 2/3.При одночасному пострілі всіх трьох стрільців малося два влучення. Визначити імовірність того, що промахнувся третій стрілець.
10. Троє мисливців одночасно вистрілили по звірі, що був убитий однією кулею. Визначити імовірність того, що звір був убитий першим, другим чи третім мисливцем, якщо імовірності влучення для них рівні відповідно 0.2; 0.4; 0.6;.
11. Улучення снаряда в будь-яку точку літака однаково імовірно, а крила, фюзеляж, хвіст і кабіна складають відповідно 50, 30, 12, 8 відсотків усього літака. Літак був збитий. Це відбувається з імовірностями 0.01; 0.05; 0.2 і 0.5 при влученні снаряда у відповідні частини літака. У яку з частин імовірніше всего потрапили?
12. З урни, у якій було 10 білих куль і 20 чорних, утратили 1 кулю. Для того, щоб визначити колір загубленої кулі, з урни були вийняті 2 кулі. Вони виявилися білими. Знайти імовірність того, що був загублений біла куля.
13. Маються 3 знаряддя. Імовірності улучення відповідно рівні 0.5; 0.4; 0.25. Два знаряддя вистрілили по танку. Танк був підбитий. Яка імовірність, що перше знаряддя не стріляло?
14. По каналі зв'язку передається одна з комбінацій АААА, ВВВВ,СССС з імовірністю 0.3;0.4;0.3. Кожна буква приймається з імовірністю 0.6 і спотворюється в інші букви з ймовірностями 0.2. Перекручування незалежні. Знайти імовірність того, що була передана послідовність ВВВВ, якщо отримано АВСА.
15. У лікарню надходять 40% хворих із захворюванням 1, 35% із захворюванням 2 і 25%- із захворюванням 3. Імовірність лікування 40%, 20% і 40% відповідно. Хворий видужав. Знайти імовірність, що він був хворий захворюванням 1.
16. У фірмі прокату старих автомобілів мається 70 машин із середнім терміном експлуатації (імовірність їхньої поломки дорівнює 1/10) і 10 машин, відремонтованих після аварії (імовірність їхньої поломки-2/3). Клієнт не має інформацію, яку машину він бере. Яка імовірність, що йому дісталася машина після аварії, якщо вона не зламалася?
17. Серед 4971 чоловік, що багато днів підряд залишалися в море на шлюпках, плотах і т.п. після загибелі кораблів , 3994 чоловік не пили морську воду(з них умерло 133 чоловік), у той час як 977 чоловік пили морську воду (з них умерло 387 чоловік). Яка імовірність, що оставшийся в живих людин не пив морську воду?
18. Маються 2 блоки, зовні однакові. Схема одного з них - рівнобіжна, з ймовірностями відмовлення кожного з двох вузлів, рівними q1=q2=1/2. Схема іншого - послідовна з ймовірностями нормальної роботи вузлів р3=р4=р5=9/10. Обраний навгад блок відмовив. Яка імовірність, що це перший блок?
19. Студент здає іспит. Імовірність того, що він попадає до першого екзаменатора ,0,6; до другого - 0,4. Імовірність того, що він одержить 2 у першого екзаменатора, дорівнює 0.6, у другого-0.75. Яка імовірність, що студент здавав іспит першому екзаменатору, якщо він не одержав 2?
20. Парламент країни S має три фракції А,В и С. Чоловіка складають 80 %, 70% і 90% депутатів фракцій А,В и С відповідно. Фахівці - 40%,40% і 50%. Спортсмени - 20%,10% і 15%. До якої фракції більш ймовірно належить депутат , якщо він є чоловіком, фахівцем і спортсменом одночасно?
21. Агрегат складається з двох послідовно включених вузлів. Надійність (імовірність безвідмовної роботи протягом часу Т ) першого вузла дорівнює 0,6, другого - 0,8. За час іспиту протягом часу Т зареєстроване відмовлення агрегату. Знайти імовірність того, що відмовили обидва вузли.
22. Однотипні прилади випускаються трьома заводами в кількісному відношенні n1/n2/n3 ,причому імовірності браку для цих заводів відповідно рівні р1,р2 і р3. Яка імовірність того, що прилад, виявився бракованим, зроблений першим заводом?
23. На вхід радіолокаційного пристрою з імовірністю 0.8 надходить суміш корисного сигналу з перешкодою , а з імовірністю 0.2 - тільки перешкода. Якщо надходить корисний сигнал з перешкодою, то пристрій реєструє наявність якогось сигналу з імовірністю-0.7, якщо тільки перешкода - те з імовірністю 0.3. Відомо, що пристрій зареєстрував наявність якогось сигналу. Знайти імовірність того, що в його сполуці є корисний сигнал.
24. Прилад складається з двох послідовно включених вузлів. Надійність (імовірність безвідмовної роботи протягом часу Т ) першого вузла дорівнює 0,9, другого - 0,8. За час іспиту приладу протягом часу Т зареєстроване відмовлення. Знайти імовірність того, що відмовив тільки перший вузол.
25. Розслідуються причини невдалого запуску космічної ракети, про яке можна висловити чотири припущення Н1,Н2,Н3 чи Н4. За даними статистики Р(Н1) =0,2, Р(Н2)=0,4, Р(Н3)=0,3, Р(Н4)=0,1. У ході розслідування виявлено, що при запуску відбувся витік палива (подія А). Умовні імовірності події А відповідно до тієї ж статистики рівні відповідно 0,9, 0, 0,2 і 0,3. Яка з гіпотез найбільш ймовірна за даних умов?
26. На фабриці, що виготовляє деталі, перша машина робить 25%, друга - 35%, третя -40% усіх виробів. У їхній продукції брак складає відповідно 5%, 4% і 2%. Випадково обрана деталь виявилося дефектною. Яка імовірність того, що деталь була зроблена першою машиною.
27. У трьох шухлядах знаходяться однотипні вироби: у першому 10 виробів, з них 3 нестандартних, у другому 15 виробів, з них 5 нестандартних і в третьому 20 виробів, з них 6 нестандартних. Навгад обраний виріб виявився нестандартним. Яка імовірність того, що узятий виріб первісний було в третій шухляді?
28. У групі спортсменів 15 лижників, 8 велосипедистів і 7 бігунів. Імовірність виконати кваліфікаційну норму складає для лижника - 0,8 ; для велосипедиста - 0,75; для бігуна - 0,9. Спортсмен виконав норму. Яка імовірність, що це був лижник?
29. Збирач одержав 3 коробки деталей з першого цеху і 5 коробок - із другого. Імовірність випуску стандартної деталі першим цехом дорівнює 0,8, а другим - 0,75. Навгад витягнута з навмання узятої коробки деталь виявилася нестандартною. Яка імовірність того, що ця деталь випущена другим цехом?
Є три однакових по виду шухляди. У першій шухляді 20 білих куль, у другій - 12 білих і 8 чорних куль, у третій - 10 чорних куль. З обраної навмання шухляди вийняли навгад білу кулю. Знайти імовірність того, що кулю виймуть з першої шухляди.