Формула повної імовірності

Нехай у результаті досліду може відбутися одне з декількох неспільних подій, що утворять повну групу, тобто в сумі елементарних подій, що дають весь простір. Події, що задовольняють цим двом вимогам, називають гіпотезами. Нехай далі потрібно знайти імовірність деякої події, якщо відомі імовірності гіпотез і умовні імовірності події A при кожній з гіпотез. Представимо цікавляче нас подія у виді

Тоді по формулі додавання ймовірностей неспільних подій одержимо

Використовуючи для кожного доданка в попередній формулі теорему множення ймовірностей, одержимо остаточно формулу повної імовірності

Приклад. Частка пролітає повз три лічильники, причому вона може потрапити в кожний з них з ймовірностями 0,3, 0,2 і 0,4. У свою чергу, якщо частка попадає в перший лічильник, то вона реєструється з імовірністю 0,6, у другий – з імовірністю 0,5 і в третій – з імовірністю 0,55. Знайдемо імовірність того, що частка буде зареєстрована ( подія A ).

Розв’язування. У нашому випадку імовірність першої гіпотези дорівнює 0,3, імовірність другий дорівнює 0,2 і імовірність третьої дорівнює 0,4. Три зазначені гіпотези несумісні, однак вони не складають повної групи подій. Необхідно додати подія , що полягає в тім, що частка не потрапить ні в один лічильник. Тому що імовірності всіх гіпотез у сумі дають 1, те Умовні імовірності події A при виконанні кожної гіпотези рівні: і . По формулі повної імовірності маємо

Задачі для самостійного розвязування

Зважуються дві задачі з завдання відповідно до індивідуальних номерів за наступною схемою.

1) 1, 16 2) 2, 17 3) 3, 18 4) 4, 19 5) 5, 20 6) 6, 21 7) 7, 22 8) 8, 23 9) 9, 24

10) 10, 25 11) 11, 26 12) 12, 27 13) 13, 28 14) 14, 29 15) 15, 30 16) 1, 18 17) 2, 19 18) 3, 20 19) 4, 21 20) 5, 22 21) 6, 23 22) 7, 24 23) 8, 25 24) 9, 26 25) 10, 27

26) 11, 28 27) 12, 29 28) 13, 30 29) 14, 27 30) 15, 22 31) 11, 22 32) 12, 23.

1. З першого автомата на зборку надходить 40% , із другого-35%, із третього-25% деталей. Серед деталей першого автомата 0,2% бракованих, другого-0,3%, третього-0,5. %.Знайти імовірність того, що деталь, що надійшла на зборку бракована.

2. Прилади одного найменування виготовляються трьома заводами. Перший завод поставляє 45% усіх виробів, що надходять на виробництво, другий -30% і третій -25%. Імовірність безвідмовної роботи приладу, виготовленого першим заводом, дорівнює 0,8, другим-0,85, третім 0,9. Визначити імовірність безвідмовної роботи приладу, що надійшов на виробництво.

3. Брак у продукції заводу внаслідок дефекту А складає 5%, причому серед забракованої по ознаці А продукції в 6% випадків зустрічається дефект У, а в продукції, вільної від дефекту А , дефект У зустрічається в 2% випадків. Знайти імовірність зустріти дефект У у всій продукції.

4. У цеху працюють 20 верстатів. З них 10 марки А, 6 марки В і 4 марки С. Імовірність того, що якість деталей виявиться стандартною, для цих верстатів відповідно дорівнює: 0,9; 0,8 і 0,7. Який відсоток стандартних деталей випускає цех у цілому?

5. В обчислювальній лабораторії маються 6 клавішних автоматів і 4 напівавтомати. Імовірність того, що за час виконання деякого розрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95. Для напівавтомата ця імовірність дорівнює-0,8. Студент робить розрахунок на машині, обраної навгад. Знайти імовірність того, що за час розрахунку машина не вийде з ладу.

6. У цеху 3 групи автоматичних верстатів (по ступені амортизації) роблять ті самі деталі. Продуктивність їх однакова, але якість роботи по-різному. Відомо, що верстати 1-ої групи роблять 90% деталей 1-го сорту, 2 ой-85%, 3-їй- 80%. Усі зроблені деталі в пересортованому виді складені на складі. Визначити імовірність того, що узята навгад деталь виявиться 1-го сорту, якщо верстатів 1-ої групи 5, 2-ой-4, 3-ей-1.

7. Радіолампа може належати до однієї з трьох партій з ймовірностями Р1=Р3=0,25, Р2=0,5. Імовірності того, що лампа проробить задане число годин, рівні відповідно 0,1;0,2;0,4.Визначити імовірність того, що лампа проробить задане число годин.

8. Партія транзисторів, з яких 10% дефектних, надійшла на перевірку. Схема перевірки така, що з імовірністю 0,95 виявляється дефект, якщо він є, і з імовірністю 0,03 визнається негідним справний транзистор. Знайти імовірність того, що випадково обраний транзистор буде визнаний негідним.

9. Прилад, установлений на борті літака, може працювати в двох режимах: в умовах нормального крейсерського польоту, що здійснюється в 80% усього часу польоту, і в умовах перевантаження, що має місце в 20% часі. Імовірність виходу приладу з ладу в нормальних умовах дорівнює 0,1, а в умовах перевантаження-0,4. Обчислити надійність роботи приладу за час польоту.

10. У продаж надходять телевізори трьох заводів: 30% з першого, 20%- із другого і 50%- із третього. Продукція першого заводу містить 20% телевізорів із прихованим дефектом, другого - 10% і 3-го заводу - 5%. Яка імовірність придбати справний телевізор?

11. При перевірці якості зерна пшениці було встановлено, що всі зерна можуть бути розділені на 4 групи. До зерен 1-ої групи належить 96%,до 2-ий 2%, до 3-їй і 4-ої - по 1% усіх зерен. Імовірність того, що з зерна виросте колосся, що містить не менш 50 зерен, для насінь 1-ої групи дорівнює 0,5, для насінь 2-ий -0,2, для насінь 3-їй групи - 0,18 і для насінь 4-ої групи-0.02. Визначити імовірність того, що з узятого навмання зерна виросте колосся, що містить не менш 50 зерен.

12. На позиції може випадково і равноімовірно виявитися один з п'яти стрільців. Три з них збройні зброєю з оптичним прицілом, два - без оптичного. Імовірність поразки мети зі зброї з оптичним прицілом дорівнює 0,95, без оптичного - 0,7. Визначити імовірність того, що при добутку одного пострілу випадково оказавшимся на позиції стрільцем ціль буде уражена.

13. Літак здійснює посадку на аеродром. Якщо дозволяє погода, льотчик саджає літак, спостерігаючи за аеродромом візуально. У цьому випадку імовірність благополучної посадки дорівнює 0,95. Якщо аеродром затягнуть низкою хмарністю, льотчик саджає літак наосліп по приладах. Надійність роботи приладів сліпої посадки дорівнює 0,8. Якщо прилади сліпої посадки спрацювали нормально, то літак сідає благополучно з тією же імовірністю 0,95, що і при візуальній посадці. Якщо ж прилади не спрацювали, то льотчик може посадити літак з імовірністю 0,4. Знайти імовірність благополучної посадки літака, якщо відомо, що в 70% усіх випадків посадки аеродром затягнуть низкою хмарністю.

14. У правій кишені маються 3 монети по 10 карбованців і 4 монети по 50 карбованців, а в левом - 6 по 10 карбованців і 3 - по 50. З правої кишені в лівий навгад перекладаються 5 монет. Визначити імовірність витягу з лівої кишені після перекладання монети в 10 карбованців, якщо монета береться навгад.

15. Група літаків у складі: одне ведучий і два відомих - направляється на бомбометання по об'єкті. Кожний з них несе по одній бомбі. Ведучий літак має приціл, відомі не мають і роблять бомбометання по сигналі ведучого. По шляху до об'єкта група проходить зону протиповітряної оборони, у якій кожний з літаків, незалежно друг від друга, збивається з імовірністю 0,5. Якщо до мети підійде ведучий літак з відомими, вони вразять об'єкт з імовірністю 0,9. Ведучий літак, супроводжуваний один відомим, вразить об'єкт з імовірністю 0,8. Один ведучий літак, без відомих, вразить об'єкт з імовірністю 0,6. Якщо ведучий літак збитий, то кожний з відомих, якщо він зберігся, уражає об'єкт з імовірністю 0,3 Знайти імовірність поразки об'єкта.

16. Мається 10 карток, на яких написані числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Дві з цих карток виймаються одна за іншою. Число, написане на першій картці, береться за чисельник, на другий - за знаменник дробу. Знайти імовірність того, що отриманий дріб буде правильною.

17. Під час іспитів було встановлено, що імовірність безвідмовного спрацьовування реле при відсутності перешкод дорівнює 0,99, при перегріві -0,95, при вібрації - 0,9, при вібрації і перегріві -0,8. Знайти імовірність відмовлення цього реле при роботі в пересувній лабораторії, якщо імовірність перегріву 0,1, вібрації -0,3, перегрів і вібрація є незалежними подіями.

18. Група з 3 літаків робить наліт на об'єкт. Об'єкт захищений 4-мя батареями зенітних ракет. Кожна батарея прострілює кутовий сектор розміром 60 градусів, так що з повного кута 360 градусів навколо об'єкта виявляються захищеними 240. Якщо літак пролітає через захищений сектор, його обстрілюють і уражають з імовірністю 0,6; через незахищений сектор літак проходить безперешкодно. Кожен літак, що пройшов до об'єкта, скидає бомбу й уражає об'єкт з імовірністю 0,8. Екіпажі літаків не знають, де розташовані батареї. Знайти імовірність поразки об'єкта, якщо літаки летять по тому самому напрямку, обираному випадково.

19. У шухляді 20 тенісних м'ячів, у тому числі 15 нових і 5 граних. Для гри навгад вибираються 2 м'ячі і після гри повертаються назад. Потім для другої гри також навгад витягаються ще 2 м'ячі. Яка імовірність того, що 2-а гра буде проводитися новими м'ячами?

20. При переливанні крові треба враховувати групу крові донора і хворого. Людині, що має 4-ую групу, можна перелити кров будь-якої групи; людині з 2-ий чи 3-їй групою можна перелити кров або та ж група, або 1-ої; людині з 1-ої групою можна перелити тільки кров його групи. Серед населення 33,7% мають 1-ую, 37,5% - 2-ую, 20,9%-3-ю і 7,9%-4-ую групу крові. Знайти імовірність того, що випадково узятому хвор можна перелити кров випадково узятого донора.

21. З 10 студентів, що прийшли здавати екзамен з теорії ймовірностей і квитки, що взяла, Іванов і Петров знають 20 квитків з 30, Сидоров устиг повторити тільки 15 квитків, інші знають усі 30 квитків. Екзаменатор навгад викликає одного зі студентів. Яка імовірність того, що викликаний здав іспит, якщо знання квитка гарантує здачу іспиту з імовірністю 0,85, а при незнанні квитка можна здати іспит з імовірністю 0,1?

22. Три стрілки, імовірності влучення яких при одному пострілі в мішень у незмінних умовах постійні і рівні відповідно р1=0,8, р2=0,7, р3=0,6, роблять по одному пострілі в ту саму мішень. Обчислити імовірність того, що в мішені виявиться рівно 2 пробоїни, прийнявши як гіпотези елементарні наслідки даного експерименту.

23. Виробляється n незалежних пострілів запальними снарядами по резервуарі з пальним. Кожен снаряд попадає в резервуар з імовірністю р. Якщо в резервуар потрапив 1 снаряд, те пальне загоряється з імовірністю р1, якщо 2 снаряди, з повною вірогідністю. Знайти імовірність того, що при n пострілах пальне запалиться.

24. У кожній з 3-х урн міститься 6 чорних і 4 білих кулі. З 1-ої урни навгад витягнуті одна куля і перекладена в 2-ую урну, після чого з 2-ий урни навгад витягнуті одна куля і перекладена в 3-ю урну. Знайти імовірність того, що куля, навгад витягнутий з 3-їй урни, виявиться білим.

25. Маються дві однакових шухляди з кулями. У першій шухляді 2 білих і 1 чорна куля, у другому - 1 білий і 4 чорних кулі. Навгад вибирають одна шухляда і виймають з нього куля. Яка імовірність, що вийнята куля виявиться білим?

26. При приміщенні в урну ретельно перемішаних 10 куль ( 4 білих і 6 чорних) одна куля невідомого кольору загубилася. З 9 куль навгад виймають одну кулю. Яка імовірність, що вийнята куля виявиться білою?

27. Маються дві урни: у першої 3 білих кулі і 2 чорних, а в другий 4 білих і 4 чорних. З першої урни в другу перекладають, не дивлячись, дві кулі. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде білим.

28. Маються дві однакових шухляди з кулями. У першій шухляді 4 білих і 8 чорних куль, у другому - 6 білих і 4 чорних кулі. Навгад вибирають одна шухляда і виймають з нього відразу 2 кулі. Яка імовірність, що вийняті кулі виявляться білими?

29. Маються 2 партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній партії один виріб- браковане. Виріб, узятий навгад з першої партії, перекладено в другу, після чого вибирається навгад виріб із другої партії. Визначити імовірність витягу бракованого виробу з другої партії.

30. В автобусі їдуть n пасажирів. На наступній зупинці кожний з них виходить з імовірністю p , крім того в автобус з імовірністю q не входить жоден новий пасажир, з імовірністю 1-q - один новий пасажир. Знайти імовірність того, що , коли автобус знову рушить у шлях після наступної зупинки, у ньому буде як і раніше n пасажирів.