(4 Исчисление бесконечно малых )

Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию «метафизики анализа». Он назвал одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от неё менее чем на любую заданную величину. («Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение» — эта фраза могла бы стоять и в современном учебнике. Он исключил из анализа понятие актуальной бесконечно малой, допуская его лишь для краткости речи.)

Перспективность его подхода несколько снижалась тем, что стремление к пределу он почему-то понимал как монотонное (видимо, чтобы  ), да и внятной теории пределов Д’Аламбер не дал, ограничившись теоремами о единственности предела и о пределе произведения. Большинство математиков (в т. ч. Лазар Карно) возражали против теории пределов, так как она, по их мнению, устанавливала излишние ограничения — рассматривала бесконечно малые не сами по себе, а всегда в отношении одной к другой, и нельзя было в стиле Лейбница свободно использовать алгебру дифференциалов. И всё же подход Д’Аламбера к обоснованию анализа в конце концов одержал верх — правда, только в XIX веке.

В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости.(см слайд)

(Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится.

Замечание. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.)

(5 Основная теорема алгебры)

Д’Аламбер дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры. Во Франции она называется теоремой Д’Аламбера - Гаусса.

Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что( поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть)

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени   над полем комплексных чисел имеет в нём ровно   корней, с учётом кратности корней.

Д'Аламбер опубликовал доказательство этой теоремы в 1746 году. (Оно основывалось на лемме, что для любой точки, не являющейся корнем многочлена, найдётся точка с меньшим модулем многочлена от этой точки, то есть  . Это доказательство было бы строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения.)

Во второй половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом.

Гаусс первым дал доказательство без этого предположения, единственным используемым им, но недоказанным утверждением была теорема Больцано — Коши для многочлена. Она утверждает, что многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, имеет корень. Доказательство Гаусса, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.