6. Теоремы о непрерывных функциях.

Определение 22.1: (Условие Коши) Функция   удовлетворяет в точке   условию Коши, если:

Теорема 1: (Критерий Коши) Для того, чтобы функция   имела в точке   конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы функция  удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Теорема 2: Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.

Теорема 3: Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего максимального и минимального значения. (Дать определение  )

Теорема 4: Пусть   непрерывна на   , причём   , тогда:

Теорема 5: Пусть   непрерывна на  , тогда:

Определение 22.2: Функция называется возрастающей (убывающей) в точке, если существует такая окрестность этой точки, в которой данная функция является возрастающей (убывающей).

Теорема 6: Если функция   дифференцируема в точке   и  , то эта функция возрастает (убывает) в данной точке.

Определение 22.3: Непрерывная на множестве   функция   имеет в точке   глобальный минимум (максимум), если: 

Определение 22.4: Непрерывная на множестве   функция   имеет в точке   локальный минимум (максимум), если: 

Замечание: Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума данной функции.

Теорема 7: (Ферма, необходимое условие экстремума)

Если функция   непрерывна и дифференцируема в некоторой e -окрестности точки   и достигает в ней экстремального значения, то:  .

Замечание: Точки, в которых производная функции равна нулю мы будем называть стационарными точками этой функции.

Теорема 8: (Ролля) Если функция   непрерывна и дифференцируема на отрезке  , причём   , то:  .

Теорема 9: (Лагранжа) Если функция   непрерывна и дифференцируема на отрезке  , то:  . Дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы.

Теорема 10: (Коши) Пусть функции  ,   непрерывны и дифференцируемы на  , причём:  , тогда:  .

Теорема 11: Пусть   непрерывна и дифференцируема на   и  , тогда:  .

Теорема 12: (Правило Лопиталя)

a). Пусть функции   и   - определены и дифференцируемы в некоторой окрестности   точки   , за исключением, быть может, самой точки  ,  . Тогда:

б). В условии теоремы:  .

6. Точки разрыва функции и их классификация

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

6. Понятие производной функции и ее геометрический смысл

Опр. Производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента. (Коши 1820 г.)

Функция, имеющая производную в некоторой точке x наз. дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной наз. дифференцированием.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной.

На графике функции y = f(x) имеем точки M₀(x_0,y₀) и M(x;y). Прямая М₀М наз. секущей и пересекает ось Ох под углом

tg = MK/M₀K = [f(x) – f(x₀)] / (x – x₀)

При х х₀ секущая становится касательной

lim tg = lim [f(x) – f(x₀)]/(x – x₀) = f `(x₀) = tg

х х₀ х х₀

6. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).

Доказательство: Возьмем произвольное фиксированное число x   (a,b).. По условию теоремы Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при   такую, что

Но тогда   и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).