3) Замена переменных

_{Опр.: Отображение U:xu(x), xGR}ⁿ _{мн-ва GR}ⁿ _{в ER}ⁿ _{наз. диффеоморфизмом, если оно взаимнооднозначное (биективное),}

_{E={u|u=u(x),xG}}

_{G={x|x=x(u),uE}}

_{и ф-ии u:xu(x), x:ux(u) непрерывно дифференцируемы на G и E соот-но.}

_{Опр.: Если во мн-ве G  мн-во G0G, G0=0, а в E  E0E, E0, мн-ва G\G0, E\E0 диффеоморфизмы при отображении, то в этом случае говорят, что мн-ва G и E -дифференцируемы при этом отображении.}

_{Условия диффеоморфности состоят в том, что якобиан преобразования D(u)\D(x) обращается в 0 разве что на множестве нулевой меры.}

_{Теорема: Если 1) f непрерывна на G}

_{2) отображение x:ux(u) - -диффеоморфизм мн-ва E на G, то}

_{Пример: Какие замены можно делать.}

1. _{Мн. невырожденное преобразование есть диффеоморфизм xi=a0i+a1iu1+…+aniun , i=1,n}

_{|D(x)\D(u)|=|Пajiu| j=1,n , i=1,n}

2. _{Полярные координаты}

_{- -диффеоморфизм.}

3. _{Цилиндрические координаты}

_{x=cos}

_{y=sin , 0, [0,2], zR - -диффеоморфизм.}

_z=z

§2. Интеграл Римана на отрезке.

1. _{Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла.}

1. _{Расс-м f:[a,b]R, fC[a,b], f(x)>0, x[a,b]}

_{Расс-им криволинейную трапецию, которая ограничена осью Ox, прямыми x=a, x=b и графиком Гf . Найдем площадь этой трапеции. Для этого расс-им мн-во}

_{={xк}, a=x0<x1<…<xn-1<xn=b (1)}

_{Обозначим xк=xк-xк-1, к=1,n}

_{Возьмем  кEк=[xк-1, xк]. Тогда f(к)xк – площадь прямоугольника, у которого основание имеет длину xк , высота f( к). Площадь этого прямоугольника тем меньше будет отличаться от площади соответствующей криволинейной трапеции, чем меньше длина xк и если считать, что ф-я f непрерывна, то , где S-площадь данной кривол-ой трапеции.}

_{2) Пусть в направлении оси Ox действует сила f, которая перемещает материальный объект из точки a в точку b, тогда когда бы f была постоянной, то работу этой силы можно было бы найти, перемножив f на длину [a,b].}

_{Если же f переменная сила, то поступим так: отрезок [a,b] разобьем точками x1,…,xк на маленькие отрезки Eк и поскольку будем считать f непрерывной на [a,b], то f на отрезке Eк измениться очень мало. Тогда можем считать ее на этом отрезке постоянной. Так что работа, которая будет сделана при перемещении объекта m на Eк будет равна f(к)xк, где кEк. Тогда всю работу можно считать равной . Эта работа будет вычислена тем точнее, чем короче будут отр. Eк.}

2. Разбиение отрезка [a,b].

_{Пусть имеем (1) , тогда мн-во ={xк| k=0,n} будем наз-ть разбиением отрезка [a,b]. Eк=[xк-1, xк] будем наз-ть частичным отрезком этого разбиения. Число =max{xк, k=0,n} будем наз. диаметром разбиения. Разбиение отрезка [a,b] будем наз. продолжением разбиения , если все точки xк разбиения  входят в состав точек }^’_.

3. Определение интеграла.

_{Пусть имеем f:[a,b]R и ={xк} со свойством (1), тогда сумму (2)}

_{будем наз-ть интегральной суммой ф-ии f на отрезке [a,b].}

_{Eк=[xк-1, xк], кEк , xк=xк – xк-1.}

_{Опр: Число I наз. пределом интегральной суммы (2) при 0, если для 2, что (для ={xк} для кEк для каждого выбора кEк) выполняется нер-во |-I|<, если .}

₍₃₎

_{Опр: Если предел (3) сущ., то ф-я f наз. интегрируемой на [a,b] по Риману, а предел I наз. интегралом Римана ф-и f на [a,b] и обозначается: (4)}

_{6. Классы интегрируемых ф-ий.}

1. _{Если f C[a,b], то fR[a,b]}

2. _{Теорема: Пусть f:[a,b]R, причем а) f огран-на на [a,b]}

_{б ) f непрерывна на [a,b] везде, за исключением конечного числа точек, тогда fR[a,b].}

3. _{Теорема: Если f монотонна на [a,b], то fR[a,b]}

_{7. Св-ва интеграла Римана.}

1. _{Линейность}

_{Пусть Расс-им ф-ю (x)=f(x)+g(x) (R). Тогда причем}

2. _{Монотонность}

_{Пусть I1, I2 и f(x)g(x) для x[a,b], тогда I1I2.}

_{Следствие: Пусть f(x)0 x[a,b]. Тогда . Если же [][a,b], что f(x)>0 при x[], f(x)0 на [a,b], то .}

3. _{Аддитивность}

_{а) Если fR[a,b], , [,][a,b], то gR[a,b]}

_{б) Пусть fR[a,b], c[a,b]. Тогда fR[a,с] и fR[c,b] и имеет место рав-во: .}

_{Следствие: .}

4. _{Интегрируемость произведения двух ф-ий.}

_{Если fR[a,b], gR[a,b], то fgR[a,b].}

5. _{Об одной оценке интеграла}

_{Пусть f(x)R[a,b]. Тогда (x)=|f(x)|R[a,b], причем имеет место нер-во: если |f(x)|M для x[a,b].}