12. Ряд Фурье.
Опр: Система функций
1(x),
…, n(x),…nN,
x[a,b],
n(x)R:[a,b]
называется ортогональной на [a,b], если
,
если nm
Определение тригонометрического ряда Фурье.
Будем рассматривать:
(*)
Это значит, что ряды представлены по системе 1, cos x, sin x, …, cos kx, sin kx.
Лемма: Система функций 1, cos x, sin x, …, cos kx, sin kx ортогональна на [-;].
Теорема:
Пусть
(1), причем ряд сходится на R
равномерно к функции f,
тогда
(2)
Лемма Римана: Пусть f – абсолютно интегрируема на [a,b] ф-ция, тогда
,
Вывод: Когда f абсолютно интегрируема на [a,b] , то коэф-ты Фурье такие, что an0, bn0 когда n
Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье:
Запишем
в виде
(3)
Положим
.n=1,2,…(4)Тогда
(3) примет вид
(5)Ф-ии
,опред-ные
ф-лой (4) наз ядром Дирихле n-го
порядка, интеграл в правой части
(5)-интеграл Дирихле.Лемма:
Когда f
- 2-периодическая
функция и интегр-мая по Риману и n>=0,
то
(6),
(7)
2. Ряды Фурье, сходящиеся в точке.Пусть f - 2-периодическая функция и интегр-мая по Риману,х-фикс.т-а.с€ R.
,тогда
в силу(7)имеем
(8)
Т-ма(w):Чтобы
тригон. ряд Фурье ф-ии сходился в т-е
х[-;]к
числу с,т.е.
необх. и достат., чтобы сущ.(0;)
, что
(9)
Теорема
(Признак Дини):
Пусть f
- 2-периодическая
функция, интегрируема на [-;],
а с-
такое, что сущ.(0,)
и при этом δ
(13),то
(14).Док-во.Из
(13)по л.Римана имеем (9),тогда по
Т-ме(w) получ утв нашей теоремы.
Сл1:
Если х-т-а
непрер-ти или разрыва I-го
рода ф-ии f
и в этой т-е сущ.одностороние производные
,
,то
(15)
Сл2:Пусть
ф-ия f
кус-непрер диф-ма на [-;].Тогда
тригон ряд Фурье ф-ии f
в каждой т-е х€(-;)
сх-ся к значению
,в
т-х
к
зн-нию
Т-ма(Фейера):
Пусть f
– непрерывная функция на [-;],f(-)=
=f().
Тогда для всех x[-;]
равномерно
при
n,где
,
Т-ма.Тригон
сис-ма ф-ий
явл замкнутой в пр-ве кус-непрер на
[-;]
ф-ий.
Сл(рав-во
Парсеваля): для
любой кус-непрер на [-;]
ф-ии f
имеет место
.
13. Интеграл Римана
Для интегрирования функции многих переменных по множеству(мн-ву) из n-мерного арифметического пространства(пр-ва) предварительно создается теория измеренных мн-в (по Лебегу). При кратном интегрировании по Риману создается теория измеримости по Жордану.
Опр.:
Прямоугольным параллелепипедом П наз.
мн-во точек
таких, что
,
,
.
Опр.:
Число
наз. объемом прямоугольного параллелепипеда.
Это
позволяет дать численную характеристику
элементарной фигуры:
.
Пусть
в
введена прямоугольная декартовая
система координат
или
.
Если
в координатном пр-ве
задано n семейств гиперплоскостей
то говорим, что задана сетка
.
Сетка
разбивает пространство на n-мерные кубы
с ребрами длины
.
При
переходе от сетки
к
каждый куб
делится на
равных кубов.
Опр.: Пусть
в
задано мн-во G.
Через
обозначим элементарную фигуру, состоящую
из таких кубов Kh
сетки
,
каждый из кот. целиком расположен во
множестве G.
Через
обозначим элементарную фигуру, кот.
состоит из кубов
сетки
,
каждый из кот. имеет хотя бы одну общую
точку со мн-вом G.
Эти элементарные фигуры связаны св-вами:
2.
3.
Опр.:
Число
наз. внутренней мерой Жордана мн-ва G,
а число
наз. внешней мерой Жордана множества
G.
Опр.:
Если мн-во G
таково, что
,
то мн-во G
наз. измеримым по Жордану, а число
– мера Жордана.
Мера Жордана куба – его объем, мера Жордана элементарной фигуры – ее объем.
Критерий измеримости множества по Жордану.
Множество G измеримо по Жордану
элементарные фигуры
и
такие, что
и
.Множество G измеримо по Жордану
его
граница Г(G)
была множеством жордановой меры 0.
Опр.:
Мн-во G0
имеет жорданаву меру 0, если
элементарная фигура E0
покрывающая мн-во G
,
с объемом
.
Н-р: кривая на плоскости, поверхность в пространстве.
Мн-во G измеримо по Жордану 2 измеримых по Жордану мн-dа G1 и G2 такие, что
и
.
Опр.:
Диаметром мн-ва G
наз. число
– расстояние между точками.
Опр.:
Разбиение мн-ва G
наз.
совокупность подмн-тв
таких, что 1.
;
2. Gi
измеримы
по Жордану. 3.
– множества, состоящие разве что из
граничных точек подмножеств-сомножителей.
Опр.: Диаметром
разбиения
наз. число
.
Опр.: Пусть
на G определена функция
.
Сумма
,
т.
называется интегральной суммой Римана
функции f
на множестве G
при разбиении
.
Опр.: Пусть
на G
определена функция
.
Сумма
,
т.
называется интегральной суммой Римана
функции f
на множестве G
при разбиении
.
Опр.:
Определенным n-кратным интегралом Римана
от функции f
по множеству G
называется предел:
независимо от выбора т.
.
Существенно,
что интегральные суммы Римана S(f)
от функции f
на G
зависят от взятого разбиения
и точек
,
сам же интеграл ни от
,
ни от
не зависит.
Опр.:
Суммы
наз.
нижней и верхней интегральными суммами
Дарбу.
Опр.:
Числа
называются нижним и верхним интегралами
Дарбу функции f
на G.
Имеют
место формулы:
.
3. Основная теорема об интегрируемости по Риману ограниченной на измеримом по Жардану множестве функции.
Теорема: Для ограниченной на измеримом по Жардану множестве функции f эквивалентны следующие утверждения:
f измерима по Риману на G; 2.
;
;
Классы функций, интегрируемых по Риману.
Если функция f измерима по Жардану на компакте (огран. и замкн.), то она измерима по Риману на нем.
Пусть f ограничена на измеримом компакте G, f непрерывна на G, за исключением, быть может, множества меры 0. Тогда f интегрируема по Риману на множестве G.
Теорема Лебега: Для того чтобы ограниченная на измеримом по Жардану, замкнутом множестве G функция f была интегрируема по Риману на G она была непрерывной на G, за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру Лебега 0.
Свойства интеграла Римана:
Интегрирование сужения.
Если
функция
интегрируема на G,
то ее сужение
интегрируема на
.
Аддитивность.
Пусть
–
измеримые
множества;
2)
;
3)
–
множество, состоящее разве лишь из
граничных точек множеств G1
и G2.
4) f
ограничена на G;
5) f интегрируема на G
Тогда
сущ-ют интегралы
и
.
Линейность:
Пусть G – измеримое множество; 2)ф-ии f1, f2 ограничены на G;
3)
ф-ии f1,
f2
измеримы на G;4)
.
Тогда
.
Интегрирование произведения.
Пусть выполняются условия 1), 2), 3) из 3. Тогда произведение f1f2 интегрируемо по Риману на G.
Интегрирование частного.
Пусть
выполняются условия 1), 2), 3) из 3 и
.
Тогда частное
измеримо по Риману на G.
Интегрирование неравенств.
Пусть
выполняются условия 1), 2), 3) из 3 и
.
Тогда
Следствие:
Интегрирование модуля.
Пусть 1) G – измеримое множество; 2) f – ограничена на G;
3) f – интегрируема на G
Тогда
а) функция |f | интегрируема на G
б)
Монотонность. Пусть выполняются условия 1), 2), 3) из 7 и 4)
5) мно-во
.
Тогда
Теорема о среднем
I.
Пусть 1) G
измеримо по Жардану; 2) ф-и f
и g
ограничены на G;
3) f
законопостоянна на G;
4)
Тогда
сущ.
II. Пусть 1) G – измеримое мно-во; 2) G – линейносвязное мно-во или замыкание линейносвязного мн-ва; 3) f – ограничена на G;
4)f – интегрируема на G; 5) f – непрерывна на G
Тогда
.