6. Непрерывность множеств и отображений
О1.
Если
- определена в
и при этом
,
то
наз-ся непрерывной в точке
.
(
-непрерывна
в т.
)
(
).
О2.
непрерывна в т.
,
если
,
,
,
что если для
,
что
.
О3.
- непрерывна в т.
,
если
,
,
будет
,
при
.
О4.
непрерывна в т.
,
если
.
О5.
Ф-ия
наз-ся непрерывной на мн-ве
,
если она непрерывна в каждой точке мн-ва
.
О6.
Ф-ия
наз-ся равномерно непрерывной на мн-ве
,
если
,
что
выполняется неравенство
.
Т.
Если
непрерывна
,
то
ограничена на
.
Теорема. Если непрерывна , то равномерно непрерывна на .
Отображение
наз непрерывным в точке
из мн-ва
,
если предел
в точке
равен
.
Теорема.
Отображение
,
,
непрерывное в точке
,
является ограниченным в некоторой
окрестности точки
в мн-ве
.
Теорема.
Отображение
,
,
явл-ся равномерно непрерывной т. и т. д.
функции
равномерно непрерывны на мн-ве
.
О7.
Мн-во
наз-ся компактом, если из любого покрытия
множествами, открытыми в
,
можно выделить конечное покрытие.
Теорема(Кантора).
Если отображение
,
,
непрерывно на компакте К,
то оно равномерно непр. на нем.
Теорема. Пусть , , непрерывна на компакте К, тогда:
1) ограничена на К;
2) принимает на К наиб и наим значение.
Теорема.
Пусть
,
,
непрерывна на
,
– область (открытое, лин связное мн-во),
тогда если
,
,
из
,
то для любого числа С,
лежащего между А
и B,
существует с
из X
такое, что
.
Точки разрыва. О8. Если в точке функция не явл-ся непрерывной, то – точка разрыва ф-ции .
О9.
Если
,
,
но
,
то точку
будем называть точкой разрыва I
рода, а разность – скачком ф-ии
в т.
.
О10.
Если
,
,
- точка устранимого разрыва. О11.
Если не существует хотя бы один из
односторонних пределов (как конечное
число) или если односторонние пределы
– бесконечность одного знака, то
точка разрыва второго рода.(
)
7. Дифференцируемость функции одной переменной. Производная и дифференциал.
y=f(x)
f:X
R
x-x0=h=
x,
x
V(x0)
f(x0)=f(x0+h)-f(x0)=f(x0+
x)-f(x0)=A(x0)h+o(h),
h
0 (1)
Опр1.
Функция
называется дифференцируемой в точке
x0,
если её приращение в этой точке можно
представить в виде (1), где A(x0)h
– линейная однородная ф-ция от h,
o(h)
– выражение более высокого порядка
малости чем h.
Опр2. Линейная относительно h, часть приращения f в точке x0, называется дифференциалом A(x0) h=df(x0).
Опр3.
Если
,
то
называется производной функции f
в точке x0.
A(x0)
=
(2)
Для ф-ции одной переменной её св-ва иметь производную в точке и быть дифференцируемой в этой точке – эквивалентны. Однако это уже не имеет места для ф-ции многих переменных.
Правила вычисления производной.
Пусть
ф-ции u(x),
v(x)
дифференцируемы в точке x.Тогда
ф-ции u+v,
uv,
u/v
(v(x)
0)
–дифференцируемы в точке x.
Причем :
1) (u+v)’=u’+v’, 2) (uv)’=u’v+uv’, 3) (u/v)’=(u’v-uv’)/v2
Т:
Пусть
f:V(x)
V(y),
y=f(x), F:V(y)
R.
Если
f дифференцируема
в
точке
x ,F-диф-ма
в
точке
y (y=f(x)), то
(x)=F(f(x))–диф-ма
в
точке
x причем
’(x)=F’(y)
f’(x).
Т: Пусть f:X Y, g=f-1:Y X f и g взаимнообратные ф-ции, кроме того y0=f(x0). Если f –диф-ма в точке x0, причем f’(x0) 0 , то g –диф-ма в точке y0, причем g’(y0)=1/f’(x0)
Т(Ферма): Пусть x0 точка локального экстремума ф-ции f, дифференцируемой в точке x0, тогда f’(x0)=0.
Т(Ролля): Пусть f:[a,b] R причем
1) f – непрерывна на [a,b] ;
2) f – дифференцируема на (a,b) ;
3) f(a)=f(b) .
Тогда
c
(a,b),что
Т(Лагранжа): Пусть f:[a,b] R причем
1) f –непрерывна на [a,b] ;
2) f дифференцируема на (a,b).
Тогда c (a,b),что f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Т(Коши): Пусть ф-ции f и g таковы, что:
1) f и g непрерывны на [a,b] ,
2) f и g дифференцируемы на интервале (a,b),
3) g’(x) 0 на (a,b)
Тогда
c
(a,b),
что
Правила Лопиталя.
Т1(Раскрытие
неопределенности вида
).
Пусть
и
таковы
что:
1)
;
2) f
и g
дифференцируемы в
;
3)
g'(x)0
при x
;
4)
.
Тогда
.
Т2(Раскрытие
неопределенности вида
)
Пусть f
и g
таковы что: 1)f
и g
дифференцируемы в
;
2) f
и g
в
;
3) g(x)0,
g'(x)0
при x
;
4)
.
Тогда
.
Допустим
что f(x)
дифференцируема при некотором значении
x,
т.е.
.
Тогда она обязательно непрерывна в этой
точке. В самом деле
y=f(x)-непрерывна
в точке x.
Поэтому в точках разрыва функция не
может иметь производной.
Обратное
не всегда верно, например
.