20. Прямая линия на плоскости.

Различные виды уравнений прямой на плоскости и уравнений прямой и плоскости в пространстве.

Любой вектор, параллельный прямой, назовем направляющим вектором этой прямой. Пусть - направляющий вектор. Любой вектор, параллельный , будет направляющим вектором этом прямой.

Прямую на плоскости можно задать т. и направляющим вектором . Тогда существует единственная прямая, проходящая через эту точку и параллельную вектору .

Уравнения этой прямой в аффинной системе координат : .

( ), M(x,y) – любая точка прямой, она принадлежит прямой d векторы М и будут коллинеарны. , OM=r{x,y}.

Тогда векторное уравнение прямой: r= +t .

Параметрическое уравнение прямой: x= +t ,

y= +t .

Каноническое уравнение прямой:

; =A,- =B,

=C.

Ax+By+C=0– Общее уравнение прямой, A,B – одновременно не нули.

Уравнение прямой проходит через точку М( ,0) и вектор {-B,A}.

Часто прямая задается 2-мя точками.

, В качестве направляющего вектора возьмем вектор , а в качестве точки – точку ( ).

Тогда будем иметь ;

или

Уравнение прямой, заданной в отрезках.

Тогда получим

bx-ab+ay=0; bx+ay=ab => .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассм. d не параллельную Oy, тогда , ≠0. Обозначим через k. Найдем уравнение прямой, если известна точка . - другой напр. вектор d.

=m {1, }={1,k}, m= . Тогда получим => y=kx+b. Если система координат прямоугольная, то k=tgα, α-угол между d и Ox.

Если задана точка ( ), то уравнение прямой:

y- =k(x- ).

Нормальное уравнение прямой.

d:Ax+By+C=0, {-B,A} В прямоугольной системе координат вектор {A,B} назовем нормальным вектором прямой. (аналогично для плоскости). Если норм вектор прямой и норм вектор пл-сти единичны, т.е. длина их равна 1, то уравнение прямой плоскости наз норм уравнениями. Тогда ур-ние примет вид

xcos α+ysinβ-p=0, p- расст от начала координат до прямой.

(для плоскости xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0) α,β,γ – углы, которые вектор образует с единичными векторами.

Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости характеризуется условиями:

1. (

2. (

3. (

Доказательство. (необх.) Докажем пункт 2, для чего покажем, что ни одна точка прямой не принадлежит .

Пусть ( , :

значит ( , ) .

В 3 пункте направляющие векторы прямых и имеют непропорциональные координаты, значит эти векторы неколлинеарны, значит прямые не могут совпадать и не могут быть параллельны.

(дост-ть) методом от противного.

1. Дано, что и совпадают. Надо доказать, что . Положим, что это не так. Предположение о другой зависимости между коэффициентами на основании прямых теорем приводит к тому, что прямые либо параллельны, либо пересекаются, что противоречит условию.

Способы задания плоскости в пространстве.

1. Двумя неколлинеарными векторами и точкой .

Векторное уравнение плоскости

Параметрическое уравнение плоскости ,

,

2. Двумя непересекающимися прямыми.

3. Точкой и прямой.

4. Двумя параллельными прямыми.

5. Тремя точками

– уравнение плоскости в отрезках.

Необх. и дост. условие параллельности или принадлежности вектора {a,b,c} плоскости П: Ax+By+Cz+D=0:

aA+bB+cC=0.

Пусть плоскость содержит точку запишем условие компланарности 3-х векторов , {B,-A,0},

{C,0,-A).

Тогда получим Ax+By+Cz-(A +B +C ) =0 =>

Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости.

Уравнение прямой в пространстве.

Задается с помощью точки этой плоскости и направляющего вектора . Тогда векторное уравнение прямой .

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Или .

Параметрическое уравнение прямой, заданной 2-мя точками

Уравнение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей.

– каноническое уравнение прямой.

В пространстве каждое из этих уравнени определяет плоскость, а вместе – уравнение прямой.

принадлежит обеим плоскостям =>

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Пусть l и l' – две прямые пространства. Может сущ-ть плоскость, содержащая их, тогда прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. И может не сущ-ть плоскости, содержащей их, тогда прямые называются скрещивающимися.

1. , , компланарны  определитель из координат этих векторов = 0.

2. , , не могут быть компланарны  определитель из координат этих векторов не равен 0.

Взаимное расположение плоскостей.

Взаимное расположение 2-х плоскостей характеризуется условиями:

1. ( .

2. (

3. 

Или ( или или )  П1 П2 ,

Док-во. (Необх.) 1,2 как для прямых.

3) и возьмем значение подставим в первое и второе уравнения прямых.

Определитель системы не равен нулю, значит система имеет единств. решение. Пусть , , – решение. Тройка , , будет одним из решений. Геометрически это означает, что Мо( , , ) принадлежит обеим плоскостям, а значит, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Условие достаточности доказывается методом от противного.