18. Основные ур-ния мат. Физики…

Рассмотрим уравнение вида

(1)

Если n>2, то говорят о классификации в точке .Сопоставим (1) кв. форму (2) . Классификация (n2):

1. m=n, все «+»-эллиптический тип

2. m=n, один «+», остальные «-» - гиперболический тип

3. m=n, более одного «+», один «-» - ……гиперболический тип

4. m<n –параболический тип

n=2:

1. -гиперболический тип

.Канонический вид .

2. Эллиптический тип

Канонический вид .

3. параболический тип

-канонический вид.

1. Волновое Ур-ние (гип. тип) (4)

а) Начальные условия (5)

б) Граничные (краевые)(6):1) -1-го рода

2) - 2-го рода ;

3) - 3-го порядка

(4),(5) – з-ча Коши, (4),(5),(6) – смешанная.

2. Уравнение теплопроводности (параб.тип)

3. Уравнения Лапласа (эл.тип)

З-ча Коши для ур-ния свободных колебаний струны

(1) (2)

.

.Замена . , , , . Подставляем и получаем: . Отсюда , сл-но , .

.

Формула Даламбера: .

.

Метод Фурье р-ния смешанных з-ч для ур-ния колебаний струны.

(1), (2), (3). Метод Фурье (метод деления переменных). (4). Подставим (4) в (1)

. , . , . Т. о. получили след. з-чу Штурма-Лиувиля: .

Тогда . .

, .

(5) .(6)

(7)

Р-ние з-чи (1),(2),(3) дается ф-лой(5) а коэф. высчит. по (6),(7) .

Вопрос 19. Интегральные уравнения.

Инт. ур-нием наз. ур-ние вида , где -ядро лин. функционала, - свободный член, - известная функция, - искомая функция.

Классификация линейных ИУ

1. -Фредгольма I рода

2. - Вольтера I рода

3. - Фредгольма II рода

4. - Вольтерра II рода

Если =0, ИУ наз. однородным. Решением ИУ наз-ся любая ф-ия, которая будучи подставлена вместо превращает это ИУ в функциональное тождество. Решить ИУ, значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

В классической теории ИУ, рассм. С-теория (в ней считается, что ядро – непрер. ф-я обеих переменных. Тогда решение исчется в классе непрер. ф-ций,т.е. ) и - теория (Гильбертова теория, в которой считается, что ядро – ф-я суммируемая с квадратом на (a,b) и решение ищется там же, т.е. . Равенство ф-й – равенство почти всюду (за исключением меры 0). ,

.

Ур-ния Вольтерра явл. частными случаями соотв-щих ура-ний Фредгольма. Действительно, если мы имеем ядро К, то построив по заданному ядру ядро получим, что ур-е (2) записывается как (1), где , а ур-е (4) --> (3), где К рассм. как . Но в то же время ИУ Вольтерра обладают особенностями, которых нет у ИУ Фредгольма.

Пример неразрешимой задачи: . , , -противоречие.

Опр. Оператором Фредгольма наз. оператор, сопоставляющий ф-и x ф-ю Ax, которая определяется так: , .

Оператор А – линейный оператор: a) , где - числа, - ф-и; б) ; в) .

(Из б) и в) , что оп. Фредгольма аддитивен и однороден). Оп. Фредгольма непрерывен (на основе ограниченности). Оператор наз. огран., если и .

Теорема (О непрерывности оп. Фр. в С[a,b]) Оп. Фр. в пр-ве С[a,b] явл. непрерывным линейным операторм,действующим в С[a,b]. Д-во. Возьмем произв. оператор , где ядро непрер. ,тогда и подинтегр. ф-ция непрер.Тогда по теореме о непрер. по параметру, имеем, что инт. непрер по параметру, зн. в С[a,b]. Опер-р действует из С[a,b] в С[a,b]. Д-м, что он непрерывен. Рассм. , для . . Из этой оценки следует, что явл. огранич. оператором, тогдапо т-ме о связи огранич. И непрер. оператора получаем, что непрер.чтд.

Теорема (О непрерывности оп. Фр. в ) Оп. Фр. в пр-ве явл. лин. непрер. оператором. Д-во. Рассм. опер. Ф-ма , . Подинтегр. ф-ция явл. измеримой как произведение измеримых ф-ций. Рассм. =

= . .

. Это значит, что ограничен и . Отсюда явл. лин. непрер. оператором Лин. оператор наз. компактным, если для огранич. мн-ва образ этого мн-ва будет компактным мн-вом в пр-ве Y (т.е., из каждого открытого покрытия этого множества можно выбрать конечное подпокрытие (это для топологических пространств); а для метрических пр-ств будет так: мн-во наз. компактным, если из каждой послед-ти элементов этого мн-ва можно выбрать сходящуюся подпослед-ть)

Теорема (О компактности оп. Фр. в С[a,b] ) Оп. Фредгольма в пр-ве С[a,b] –компактен.

Теорема (О компактности оп. Фр. в ) Оп. Фредгольма в пр-ве –компактен.

Опр.3. Ядро ИУ наз. вырожденным, если оно представимо в виде суммы: . , где

. Тогда (*) , где неизвестны. Если известны, то получим решение ИУ Фредгольма. Возьмём . Умножим обе части равенства (*) на эту функцию: . Проинтегрируем по t на (a,b): , где , , , причём, и известны. Т.о. получили с-му алгебраических у-ний: . Для того, чтобы (**) имело единственное рушение необх. и дост., чтобы была неособой, т.е. . Умножим (**) на слева: . Тогда - решение. В случае, когда особая, т.е. , то тогда или с-ма имеет бесконечное мн-во решений, или она не имеет решений. а) система не имеет решений. На основании теоремы Кронекера-Капелли: а) если ;

b): Если , тогда с-ма имеет бесконечное мн-во решений, а именно .

Говорят, что решение ИУ зависит от постоянных.

Решение ИУ Фредгольма методом построения резольвентных функций

, , где . Надо построить . Рассмотрим ряд Неймана . Пусть этот ряд сходится. Обозначим его сумму через B. Умножим на слева: .

Аналогично получим: . Сл-но, . не является оператором Фредгольма, т.к. не оператор Фредгольма, сл-но, надо брать , , -резольвента опер. . , = - резольвентная функция. Т.о. - оператор Ф-ма с ядром равным резольвентной ф-ции , , , . , но . Т.о., - решение уравнения.

Решение ИУ Фредгольма в случае эрмитова ядра.

в . . Найдем сопряженный оператор к оператору : . Рассмотрим: . Подставим :

Сравнивая это с (3), получим:

Нашли ядро оператора Фредгольма.

Если гильбертово, то и - гильбертово.

а это означает, что - гильбертово. Из (4) получим: . т.е. .

Опр. Ядра интегральных операторов, удовлетворяющих (6) наз-ся эрмитовым. Если - вещественно, то (6) имеет вид , что означает его симметричность.

Если ядро эрмитово, то оператор сомосопряжен. Тем самым доказали, что - самосопряженный и компактный в пространстве . Тогда к нему можно применить теорему Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам: Любой самопряженный компактный оператор в сепорабельном ГП может быть разложен по ортогональной системе собственных векторов, т.е. собст. векторов оператора и посл-сть собственных чисел , что для может быть представлено в виде: , где , т.е. , коэффициенты Фурье вектора по ортонормированной системе , т.е. .

Применим к (8) оператор , получим:

Получим: . Уравнения (8), (9), (10) подставим в исходное уравнение, получим:

Получаем: , после умножения на получаем .

. Откуда - единственное решение ИУ.

Иногда имеем: , тогда

. Тогда ИУ имеет бесконечно много решений. Если , тогда (11) не имеет решений.