Свойства собственных векторов и собственных значений.

1. Собственные значения линейного оператора f (и его матрицы А) не зависит от базиса.

2. Если матрица имеет собственное значение , то , где , имеет собственное значение , для невырожденных матриц утверждение верно и для целых m.

3. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

4. Собственные векторы , отвечающие попарно различным собственным значениям , линейно-независимы.

5. Если собственному вектору некоторого линейного оператора соответствует собственное значение λ, то вектор также является собственным вектором этого же линейного оператора с тем же собственным значением. Действительно, так как λ и α числа, то .

6. Сумма двух линейно независимых собственных векторов x и y линейного оператора, имеющих одно и то же собственное значение λ, является собственным вектором того же линейного оператора с тем же собственным значением. Действительно, сумма не является нулевым вектором, поскольку x и y линейно независимы, и по свойству линейного оператора .

Если матрица А линейного оператора является симметрической (симметричные относительно главной диагонали элементы равны), то для нее справедливо:

1. Корни характеристического уравнения являются действительными числами (действительная симметрическая матрица имеет только действительные собственные векторы),

2. Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.

Матрица А линейного оператора f зависит от выбранного базиса и содержит в себе все свойства оператора А, чем проще устроена матрица, тем легче выявить свойства оператора. Самыми простыми являются диагональные матрицы.

Диагональный вид матриц линейного оператора.

Пусть имеется некоторый линейный оператор с матрицей А.

Теорема (условие диагональности матрицы). Матрица линейного оператора имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого оператора.

□ если матрица линейного оператора имеет диагональный вид

,

то векторы соответствующего базиса могут быть представлены в виде , что означает, что они являются собственными векторами. И обратно, если векторы базиса являются собственными, т. е. имеет место равенство , то матрица А имеет диагональный вид. ■

Определение. Приводимой к диагональному виду называется такая матрица А, для которой существует невырожденная матрица Т, для которой матрица является диагональной. Чтобы построить матрицу Т, надо определить собственные числа из характеристического уравнения для матрицы А.

Теорема. Матрица А линейного оператора f n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного оператора.

Доказательство основывается на предыдущей теореме и определении.

Матрица будет приводиться к диагональному виду, если все ее собственные числа попарно различны.