Линейное преобразование линейных пространств. Линейный оператор.
Пусть L и L’ – два линейных пространства над полем P
Определение. Отображение f пространства L в пространство W f:L → L’, называется линейным, если:
Определение. Отображением A: L→ L’ называется линейным оператором, если выполнено следующее условие:
.
Свойства линейных операторов вытекают из определения:
Всякий линейный оператор A
в пространстве L
оставляет неподвижным нулевой вектор
этого пространства, т.е. 
Всякий
линейный оператор A
в пространстве L,
противоположному вектору -
,
производного вектора x,
ставится в соответствии вектор,
противоположный образу вектора
.
Каждый линейный оператор A
в пространстве L
всякой линейной комбинации произвольно
выбранных векторов 
пространства L,
ставит в соответствие линейную комбинацию
образов этих векторов.
Множество всех операторов из L→ L’ обозначим A (L, L’).
Теорема:
пусть заданный базис 
пространства L
и произвольный набор векторов 
пространства
,
тогда существует единственный оператор
принадлежащий множеству линейных
операторов A
(L,
),
такой, что A
=
,
для всех i
– от 1 до n.
Линейный
оператор 
называют также линейным преобразованием
пространства 
Ядро и образ линейного оператора.
Определение.
Множество 
называется ядром линейного оператора
и обозначается kerA
Определение.
Множество
векторов
, являющихся значениями этого оператора
называется образом линейного оператора
и обозначается imA
Размерность
образа линейного оператора называется
рангом
,
а размерность ядра- дефектом
линейного оператора
.
Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .
Теорема: «О размерности ядра и образа».
Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ
§ Матрица линейного оператора.
Рассмотрим
линейный оператор A
из пространства 
,
где 
– линейные векторные пространства
размерности n
и m
над общим полем P.
Фиксируем
какой-нибудь базис, 
в пространстве
и базис 
В силу линейности оператора A:
,
поэтому A
полностью определяется своим действием
над базисными векторами 
.
Разложим
образы базисных векторов по базису
пространства образа, т.е. базисные
векторы пространства
по базису 
где
j=1,
(от 1 до n)
⇒ равенство в матричной форме:
Матрица
возникшая справа, называется матрицей
линейного оператора А в паре базисов
и 
Матрица,
составленная из координатных столбцов
векторов
,
называется матрицей линейного оператора.
Пример: Пусть A: L→ – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени < или =2.
Рассмотрим 2 базиса:
,
,
Очевидно: A(1+t) = 1
A(t-1) = -1
A(
=2t
Поэтому
в паре базисов 
и 
матрица
линейного оператора имеет вид:
Какой
будет матрица того же оператора, если
L’=L
и выбрать базис 
Теорема.
Пусть
- линейный оператор. Тогда столбец y
координат вектора
в данном базисе линейного пространства
L
равен
произведению матрицы А
этого
оператора на столбец x
координат вектора
x
в
том же базисе.
Переход к другим базисам.
Пусть
-
матрица оператора A.
Найдем матрицу 
,
того же оператора к другой паре базисов.
Рассмотрим равенства:
Согласно определению матрицы и находим:
Найдем матрицы перехода:
⇒x=Sz
y=Tu (2)
⇒
⇒
(
⇒
Напомним определение эквивалентных матриц (A и B называются эквивалентными, если B=P*A*Q, для P и Q – какие-то невырожденные матрицы.
Утверждение: - матрицы эквиваленты в том, и только в том случае, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора в каких то парах базиса.
Для того, чтобы матрицы одинаковых размеров были матрицами одного и того же линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.
§ Обратный оператор.
Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.
Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.
Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA ={0}
Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA
Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.
Если
не вырожденный линейный оператор А
пространства L
в некотором базисе задается матрицей
А (так же не вырождена), то обратный
оператор задается в этом же базисе
матрицей 
.