3.2 Уравнение диффузии и граничные условия к нему

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D уравнение имеет вид:

(3.3)

При постоянном D уравнение приобретает вид:

(3.4)

где c(x, t) – концентрация диффундирующего вещества, a f(x, t) - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трехмерный случай.

В трехмерном случае уравнение приобретает вид:

(3.5)

При постоянном D уравнение приобретает вид:

(3.6)

где - оператор Лапласа.

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией c(x,0) = δ(x) и граничном условии c(∞,t)=0), есть:

(3.7)

В этом случае c(x,t) можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время t перейдёт в пункт с координатой x. Тогда уравнение среднего квадрата пройденного пути примет вид:

(3.8)

Такому параболическому закону подчиняется, например, рост окисных плёнок на поверхностях металлов при высоких температурах. Необходимым условием при этом является достаточное количество кислорода в окружающей среде.

В случае произвольного начального распределения c(x,0) общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свертка:

(3.9)

3.3 Отличие загрязнений нелинейной модели от загрязнения в линейной модели

Линейная зависимость одной величины от другой — это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида у = ах + b, откуда получаем ∆у = а∆x (∆ — обычное обозначение приращения), аналогично, линейная зависимость величины от двух других — это зависимость вида z = ах + by + с, откуда ∆z = а∆x + b∆у, и т. д. Типичные линейные зависимости между физическими величинами — закон Гука (удлинение пропорционально силе растяжения), закон Ома, закон теплового расширения и т. д. В действительности все эти зависимости являются линейными лишь приближенно, но в соответствующих, обычно устанавливаемых эмпирически диапазонах изменения величин предположение о линейности выполняется с хорошей точностью и в то же время существенно упрощает исследование.

Аналогично определяется понятие линейной модели. Оно применяется для моделей объектов, рассматриваемых как преобразователи, для которых каждому входу соответствует некоторый выход. Так, если мы изучаем задачу о прогибе прямолинейного стержня под действием поперечной распределенной нагрузки, то входом можно считать ее плотность q(x), а выходом — прогиб у(х). Если изучается задача о вынужденных колебаниях осциллятора, то входом можно считать закон изменения внешней силы F(t), а выходом — закон колебаний х(t) и т. д. В математике такой преобразователь называется оператором.

Любую функцию можно трактовать как преобразователь, у которого входом служит значение аргумента или набор значений аргументов, если их несколько, а выходом — значение функции. Но ведь при одинаковом наборе исходных данных, при различных видах моделирования можно получить бесконечное множество вариантов решения или аппроксимации данных. При решении задач для нахождения наиболее подходящего уравнения, описывающего зависимость полученных данных, применяется коэффициент детерминированности (коэффициент достоверности), который позволяет с определять точность зависимости найденной функции, и чем данный коэффициент ближе к 1, тем точнее уравнение описывает модель изменения данных и как следствие, тем точнее можно рассчитать последствия и пути решения множества проблем и опасностей, как загрязнения, так и других факторов, негативно влияющих на окружающую среду.

Будем считать, что начала отсчета входа и выхода выбраны так, что нулевому входу отвечает нулевой выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполнен принцип суперпозиции (наложения), т. е. при сложении входов складываются и выходы, а при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Если этот принцип не выполнен, модель называется нелинейной. Линейные модели обычно описываются линейными неоднородными уравнениями — алгебраическими, дифференциальными и т. д., в которых неоднородный член отвечает входу, а решение — выходу. Так, в первом примере предыдущего абзаца при сравнительно малых прогибах модель является линейной и, приняв для определенности, что концы х = а и х = b стержня шарнирно закреплены, получаем в качестве математической модели краевую задачу (т. е. задачу о решении дифференциального уравнения при заданных краевых условиях).

Так, например, при исследовании водоемов, крайне необходимо знать структуру дна, но при линейном моделировании не всегда удается точно выявить глубинные отметки и концентрационные точки загрязнения, которые наиболее четко могут отразить нелинейные модели зависимости рельефа дня от течения и других особенностей водоема.

Рис. 3. Модель загрязнения водоема сточными водами в MatLab

Из рисунка 3 видно направление смещения загрязняющих веществ. Программа MatLab позволяет наглядно и довольно точно определить области загрязнения, учитывая при этом направление течение водоема и ряд других особенностей при задании условий.