2.4 Анализ структуры карт изолиний

Рис. 1. Модель загрязнения водоема сточными водами в Surfer

Проанализируем результаты решения примера 2 с помощью моделирования задачи в программе Surfer. Как видно из полученных графиков (далее будем ссылаться на рисунок 1, именуя каждую зависимость графиком, нумеруя соответственно сверху вниз), сточные воды при увеличении расстояния от точки сброса по береговой линии постепенно рассеиваются. По графикам 1 можно заметить, что наибольшая концентрация сосредоточена в точке сброса. Рассмотрим каждый график в отдельности.

1 график:

Наибольшее значение (экстремум) находится в точке сброса, однако наиболее критические значения наблюдаются и вдоль береговой линии на расстоянии 50 м. Резкие градиентные зоны отмечаются в точке сброса, а с увеличением расстояния загрязняющие вещества рассеиваются и смешиваются в воде, усредняя значения. Характер экстремума симметричный, напоминающий синусоидальные затухающие колебания. Как было сказано ранее, загрязняющие вещества с увеличением расстояния рассеиваются, поэтому противоположный берег загрязняется постепенно.

2 график:

Наибольшее значение (экстремум) находится в точке сброса, однако наиболее критические значения наблюдаются и вдоль береговой линии на расстоянии 390 м. Резкие градиентные зоны отмечаются в точке сброса, а с увеличением расстояния загрязняющие вещества рассеиваются и смешиваются в воде, усредняя значения. Однако это смешение происходит довольно близко от точки сброса и достигает противоположного берега, что приводит к полному загрязнению практически всех мест водоема. Характер экстремума симметричный, напоминающий синусоидальные затухающие колебания.

3 график:

На 3 графике наблюдается более мягкое изменение распространения загрязнения, что обусловлено выбранной моделью построения зависимости. Наибольшее значение (экстремум) находится в точке сброса. Резкие градиентные зоны отмечаются только в точке сброса загрязняющих факторов. Характер экстремума вытянутый, больше напоминающий линейную зависимость. Как видно из графика, в точке сброса, противоположный берег остается полностью пригодный для использования, так как загрязняющие вещества распространяются исключительно вдоль береговой линии, при этом смешение происходит постепенно-равномерное, что позволяет легко отслеживать смещение и распространение загрязняющих факторов.

Проведя анализ по трем графикам, можно предположить, что при применении фильтров математической обработки карт (Guassian (3x3)) и альтернативном сглаживании (Guassian (mxn)), результаты получаются более детальными, отражая истинную ситуацию.

Данный вид решения задачи с помощью программы Surfer очень ненавязчив и удобен, так как можно легко отразить результаты графически, различными способами, отражая при этом смещение и направление распространения загрязняющих веществ и их концентрации на любом участке.

3 Математическое моделирование. Ореолы загрязнения нелинейного водотока

3.1 Методы конечных разностей и методы сеток

Идея метода конечных разностей (метода сеток) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера. Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовались годы. В настоящее время, с появлением быстродействующих компьютеров, ситуация в корне изменилась. Этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач математической физики.

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что

1) на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s (s – шаг сетки) и являющаяся приближением данной области А;

2) заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки Аs соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs.

Рис. 2. Построение сеточной области

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs , т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А.

Рассмотрим уравнение Лапласа (3.1)

(3.1)

где p (x, y) – искомая функция, x, y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение.

Заменим частные производные и в уравнении (3.1) конечно-разностными отношениями ,

Тогда решая уравнение (2.1) относительно p (x, y), получим:

(3.2)

Задав значения функции p (x, y) в граничных узлах контура сеточной области Аs в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (3.2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (3.1) в заданной области А.

Ясно, что число уравнений вида (3.2) равно количеству узлов сеточной области Аs, и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений. Однако надо помнить, что с уменьшением шага s возрастает размерность системы уравнений и следовательно, время решения. Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом s, оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее части.