2. 1. 3. Основные геодезические задачи

Основными геодезическими задачами являются: 1) уточнение формы и размеров земного эллипсоида; 2) перенос направлений и расстояний с физической поверхности Земли, где производятся измерения, на референц-эллипсоид (редукционная проблема); 3) нахождение координат точек на заданном эллипсоиде по известным координатам исходной точки, расстоянию от нее и направлению (так называемая прямая геодезическая задача); 4) нахождение расстояния между точками и направлений при заданных координатах точек на заданном эллипсоиде (так называемая обратная геодезическая задача); 5) уточнение координат точек при изменениях основных элементов эллипсоида.

В высшей геодезии рассматривается решение всех этих задач на поверхности эллипсоида вращения. Соответствующий раздел высшей геодезии получил название сфероидической геодезии.

2.2 Гравиметрический метод

Гравиметрический (геофизический) метод определения формы Земли ос-

нован на изучении гравитационного поля нашей планеты и заключается в

измерении значений сил тяжести в различных точках земной поверхности.

Этот метод в отличии от геометрического, дает возможность определить только форму Земли без ее размеров. Достоинством гравиметрических

измерений является то, что их можно производить в океанах и морях, то

есть там, где возможности геометрического способа ограничены.

Форму Земли определяет уровненная поверхность, характерная тем, что во

Всех ее точках сила тяжести как равнодействующая сила притяжения Земли и центробежные силы одинакова, также как и ее направление.

Благодаря тому, что напряжение сил тяжести на полюсе и на экваторе не одинаковы, уровненные поверхности, проведенные через разные точки физической поверхности Земли, в общем случае не будут параллельны между собой. Поэтому необходимо выбрать какую-либо одну поверхность, от которой производить отсчет высот точек физической поверхности. За такую основную отсчетную поверхность в Беларуси принимают средний многолетний уровень Балтийского моря в Финском заливе в районе Кронштадта (Кронштадтский футшток).

2.2.1. Теорема клеро о распределении силы тяжести на земной поверхности

Рассматривая Землю как однородную вращающуюся жид­кость, все массы которой взаимодействуют по закону всемир­ного тяготения, Ньютон показал, что фигурой Земли будет сжатый эллипсоид вращения, имеющий сжатие α= 1/230. Поз­же Клеро, предположив также, что Земля жидкая, и основы­ваясь на законах гидростатики, установил фигуру уровенной поверхности, определяющей Землю, и доказал общую теорему о распределении силы тяжести на этой поверхности. При этом Клеро считал, что плотность в Земле изменяется с глубиной так, что каждый бесконечно тонкий слой, заключенный между двумя софокусными эллипсоидами, имеет постоянную плотность. Между этими слоями плотность может изменяться по любому закону.

В этих предположениях Клеро вывел два уравнения, связывающих значения силы тяжести на земной поверхности с по­ложением точки и сжатием Земли. Эти уравнения часто назы­ваются теоремой Клеро. Они имеют следующий вид:

γ= γ_е (1 +βsin²B), (10.1)

β= q-α. (10.2)

Здесь В — широта места, q = где ω— угловая скорость вращения Земли, а — большая полуось земного эллипсоида. Смысл постоянных γ_е и β, входящих в уравнения (10.1) и (10.2), легко раскрыть, если формулу (10.1) написать для экватора и полюса.

Пусть γ определено для экватора (В = 0); тогда γ = γ_е, т. е. γ_е — значение силы тяжести на экваторе. Эту величину называ­ют экваториальной постоянной.

Если γ определено для полюса (В — π/2), то = = γ_е (1 + β).

Отсюда:

β = (10.3)

т. е. β есть отношение избытка силы тяжести на полюсе над силой тяжести на экваторе к последней.

Теорема Клеро позволяет по измеренным значениям силы тяжести найти сжатие α уровенного эллипсоида и при известной из геодезических измерений полуоси а построить земной эллип­соид, или, наоборот, для известного уровенного эллипсоида найти закон изменения силы тяжести на нем.

В рассмотренном варианте задача решена с точностью до малых порядка сжатия.

Формулу (10.1) с числовыми коэффициентами и β часто называют формулой нормального распределения силы тяжести в силу того, что она дает закон распределения силы тяжести на идеальной Земле, т. е. на Земле, имеющей форму эллипсои­да вращения со сжатием α.

В работе Клеро предполагалось, что поверхность Земли с достаточной точностью совпадает с невозмущенной поверх­ностью океана, которая в свою очередь с достаточной точностью представляется эллипсоидом вращения, и что все отвесные ли­нии на земной поверхности, совпадают с нормалями к этому эллипсоиду.

Однако уже в начале XIX в. из материалов многих градус­ных измерений стало ясно, что различие в кривизнах дуг на земной поверхности не есть следствие ошибок измерений, а ре­ально существующий факт, и что отвесные линии не совпадают с нормалями к эллипсоиду. Тогда и было введено понятие геоида — уровенной поверхности, совпадающей на океанах с уровнем невозмущенной воды, как поверхности всюду нормаль­ной отвесным линиям. В этом случае измеренные в триангуля­ции горизонтальные углы должны давать углы на геоиде, при­веденные к горизонту базисы — длины дуг, параллельных гео­иду, астрономические координаты φ и λ должны определять направления нормали к геоиду, а результаты нивелирования — высоты над геоидом.

Таким образом, введение геоида на первых порах не внесло ничего- нового в обработку астрономо-геодезических данных, а только заменило поверхность относимости. Вместо эллипсо­ида в качестве фигуры Земли начали принимать геоид.

Такое представление фигуры Земли и связь астрономиче­ских и триангуляционных измерений с геоидом позволили при обработке триангуляций пользоваться методом развертывания, т. е. все измеренные на физической поверхности элементы — углы, длины, координаты — редуцировались за счет высоты точек измерений на поверхность геоида, на котором и откла­дывались эти редуцированные элементы. В 1849 г. Д.Г. Стокс опубликовал ставшие впоследствии знаменитыми работы, в ко­торых, во-первых, доказал, что изменение силы тяжести на земной поверхности и зависимость его от сжатия эллипсоида не обязательно связаны с гипотезой гидростатического равновесия Земли, во-вторых, поставил и решил в частном случае задачу определения внешнего потенциала силы тяжести при данной внешней поверхности и известных на ней значениях силы тяжести и потенциала.

В качестве внешней уровенной поверхности Стокс принял эллипсоид вращения. Часто применяется другой способ задания потенциала силы тяжести, основанный на применении сферических функций. В этом случае потенциал представляется в виде ряда. Оставляя ограниченное число членов разложения — обычно главные сфе­рические функции нулевого, второго и четвертого порядков,— получают удобные формулы для представления потенциала и силы тяжести.

Такому заданию потенциала и силы тяжести соответствует некоторая уровенная поверхность, представляющая идеализи­рованную Землю, но эта поверхность уже не будет эллипсои­дом. Также, соответственно, не будут совпадать и потенциалы, представленные тем и другим методом. Уровенную поверхность, представляющую Землю во втором способе, близкую по форме к эллипсоиду, будем называть сфероидом. С точностью до ве­личин порядка сжатия все способы дают совпадающие ре­зультаты.

Определенный таким образом для некоторой идеализиро­ванной Земли потенциал силы тяжести, по возможности близ­кий к потенциалу реальной Земли и имеющий достаточно про­стой вид, называется нормальным потенциалом. Он определя­ется для удобства решения различных задач, связанных с определением фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля. Благодаря его введению изучение самого внешнего по­тенциала заменяется изучением малых отступлений реального потенциала от известного нормального. Уровенная поверхность, для которой определен нормальный потенциал силы тяжести, называется нормальной.

В случае определения нормального потенциала методом Стокса это будет нормальный эллипсоид. Сила тяжести, задан­ная определенным таким образом потенциалом, будет называть­ся нормальной силой тяжести.

Стоксом была решена также обратная задача — задача по­строения внешней уровенной поверхности (геоида) относительно уровенной поверхности нормального потенциала по значениям силы тяжести на геоиде. Вопрос о том, что сила тяжести из­вестна не на геоиде, а на физической поверхности Земли, и воз­никающие в связи с этим затруднения оставляем пока в стороне.