2. Одношаговый циклический процесс

Пусть система линейных уравнений представлена в виде

(1.2.1)

где , . Обозначим компоненты искомого вектора решения через х₁,х₂,…,х_n . Одношаговый циклический процесс напоминает процесс последовательных приближений с той разницей, что при вычислении -го шага приближения для -й компоненты учитываются вычисленные уже ранее -е приближения для компонент ,…, . Вычисление последовательных приближений ведется по формулам

(1.2.2)

Одношаговый циклический процесс может быть истолкован двумя способами как разновидность общего итерационного процесса.

В первом истолковании метод не стационарный, а циклический. В качестве матриц, определяющих процесс, берутся, по очереди, матрицы e₁₁,e₂₂,…,e_nn, где

(1.2.3)

Точнее, H_n(k-1)+i=e_ii.

Во втором истолковании процесс стационарный .

Уравнение (1.2.1) представим в виде

, (1.2.4)

где

(1.2.5)

Т.е.

(1.2.6)

Таким образом, один полный цикл одношагового циклического процесса для системы (1.2.4) оказывается равносильным одному шагу процесса последовательных приближений, примененного к системе

которая равносильна исходной системе.

Одношаговый циклический процесс не всегда оказывается более выгодным, чем метод последовательных приближений. Иногда одношаговый циклический процесс сходится медленнее про­цесса последовательных приближений. Возможно даже, что одношаговый циклический процесс расходится, хотя метод последова­тельных приближений сходится. Области сходимости этих двух процессов различны и лишь частично перекрываются.

3 .Метод Некрасова

Так же как в методе последовательных приближений, данную систему можно подготавливать к виду, удобному для применения одношагового циклического процесса различными способами. Наиболее употребительной является модификация одношагового циклического процесса, параллельная методу простой итерации. Такой метод называется методом Некрасова.

Система записывается в виде

и последовательные приближения определяются по формулам

Для сходимости метода Некрасова необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (уравнения Некрасова)

были по модулю меньше единицы.

В случае, если матрица из коэффициентов системы симметрична и положительно определена, то метод Некрасова для системы ходится. Вычисление по методу Некрасова зависит от порядка нумерации уравнений (и неизвестных). Если в каждом цикле неизвестные вычисляются начиная с x_n и далее x_n-1,…,x₁, то расчетные формулы будут

4 .Методы полной релаксации

В случаях, когда применение оценок погрешностей в методах простых итераций и Зейделя невозможно используются методы полной релаксации.

Пусть - точное решение системы с положительно-определенной матрицей - некоторый вектор, - функция ошибки ставится задача, как изменить -ю компоненту вектора , чтобы для измененного вектора значение функции ошибки было бы наименьшим. Пусть

Тогда

и

где – -я компонента вектора невязки для приближения .

Если, используя отдельные шаги процесса Некрасова, отказаться от цикличности в выборе изменяемых неизвестных , то мы придем к более общей группе методов, называемых методами полной релаксации.

Не всякий процесс полной релаксации сходится к решению.