
- •Содержание
- •Глава 1. Итерационные методы решения линейных систем 3
- •Ведение
- •Глава 1. Итерационные методы решения линейных систем
- •1. Метод простой итерации
- •2. Одношаговый циклический процесс
- •3 .Метод Некрасова
- •4 .Методы полной релаксации
- •5. Неполная релаксация
- •6. Градиентный метод с минимальными невязками
- •7. Градиентные методы с неполной релаксацией
- •8. Метод Якоби
- •Заключение Список используемой литературы
Содержание
Ведение 2
Глава 1. Итерационные методы решения линейных систем 3
1. Метод простой итерации 3
2. Одношаговый циклический процесс 6
3 .Метод Некрасова 8
4 .Методы полной релаксации 9
5. Неполная релаксация 10
6. Градиентный метод с минимальными невязками 11
7. Градиентные методы с неполной релаксацией 11
Заключение 14
Список используемой литературы 15
Ведение
Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ-многими пакетами прикладных программ, позволяющие решать различные возникающие на практике линейные системы. Чтобы ориентироваться среди методов и программ и в нужный момент сделать оптимальный выбор, нужно разбираться в основах построений методов и алгоритмов, учитывая специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.
Целями данной курсовой работы являются рассмотрение итерационных методов решения линейных систем
В первой главе рассматриваются итерационные методы: метод простой итерации, одношаговый циклический процесс, метод Некрасова, методы полной релаксации, неполная релаксация, градиентный метод с минимальными невязками, градиентные методы с неполной релаксацией [10], метод Якоби [11].
Глава 1. Итерационные методы решения линейных систем
В этой главе используется материал, кроме метода Якоби, из источника [11].
Метод Якоби взят из источника [10].
1. Метод простой итерации
Условия
сходимости метода последовательных
приближений требуют, чтобы матрица
коэффициентов системы
была,
в том или ином смысле, близка к единичной
матрице. Если это условие не выполнено
или „плохо выполнено", систему
целесообразно предварительно
подготовить к применению метода
последовательных приближений.
Подготовка состоит в переходе от данной
системы
к
равносильной системе
,
где
некоторая неособенная матрица,
которая выбирается так, чтобы матрица
была бы близка к единичной, т. е. матрица
была бы близка к
.
Применение метода последовательных приближений к подготовленной системе равносильно применению стационарного итерационного процесса
к исходной системе.
Выбор матрицы может быть осуществлен с использованием частных особенностей данной системы. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные способы подготовки, использующие лишь довольно поверхностные сведения о матрице коэффициентов.
Пусть
матрица
положительно определена. Тогда система
всегда может быть подготовлена к виду,
в котором метод последовательных
приближений будет сходящимся. Вычислив,
например, первую норму µ матрицы
,
мы получим, что все собственные значения
матрицы
заключены в открытом интервале (0, µ).
Положим
(1.1.1)
Система преобразуется к виду
(1.1.2)
Собственные
значения матрицы
будут заключены в открытом интервале
(-1, 1) и, следовательно, метод
последовательных приближений будет
сходящимся.
В прикладных процессах часто встречаются системы, в которых диагональные элементы матрицы значительно преобладают над остальными элементами матрицы. В этом случае подготовка системы осуществляется так.
Перепишем систему в развернутом виде
(1.1.3)
Поделим каждое уравнение системы (1.1.3)на диагональный элемент.
Получим систему
или в матричной записи
(1.1.4)
где
(1.1.5)
Для применения процесса итерации нет необходимости на самом деле делать преобразование системы (1.1.3) в систему (1.1.4). Последовательные приближения можно вычислять по формулам:
(1.1.6)
Описанная модификация процесса последовательных приближений имеет название метода простой итерации [10].