II. Индивидуальное задание

1. Задача № 54

Решить транспортную задачу

Условия задачи:

Имеются поставщики лесоматериалов (А1, А2, ….Аj ….Am) и потребители их (B1, B2, B3 ….Bj ….Bn).

Известны мощности поставщиков (aj – объёмы производства) и ёмкости потребителей (bj – объёмы потребления), а также затраты на поставку лесоматериалов от поставщика к потребителям.

Поставщики	Объём производства т.м3	Потребители
		B1	B2	B3	B4
		Потребность в т.м3
		200	170	90	100
		Затраты на поставку руб. 1м3
А1	270	7	5	М	9
А2	220	5	4	8	10
А3	180	4	2	6	7
А4

Пропускная способность d21 = 120

В задаче требуется определить оптимальный план транспортных связей поставщиков с потребителями, обеспечивающий минимальные суммарные затраты на поставку пиломатериалов.

Математическая модель транспортной задачи: F = ∑∑c_ijx_ij, (1) при условиях: ∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2) ∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3) Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	7	5	М	9	270
2	5	4	8	10	220
3	4	2	6	7	180
Потребности	200	170	90	100

Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана достаточно заменить их, на максимальные тарифы (М умноженное на 3).

	1	2	3	4	Запасы
1	7	5	0	9	270
2	5	4	8	10	220
3	4	2	6	7	180
Потребности	200	170	90	100

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 270 + 220 + 180 = 670 ∑b = 200 + 170 + 90 + 100 = 560

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	5	0	9	0	270
2	5	4	8	10	0	220
3	4	2	6	7	0	180
Потребности	200	170	90	100	110

Этап I. Поиск первого опорного плана. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	5	0[90]	9[100]	0[80]	270
2	5[190]	4	8	10	0[30]	220
3	4[10]	2[170]	6	7	0	180
Потребности	200	170	90	100	110

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные

потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij,

полагая, что u₁ = 0.

	v1=5	v2=3	v3=0	v4=9	v5=0
u1=0	7	5	0[90]	9[100]	0[80]
u2=0	5[190]	4	8	10	0[30]
u3=-1	4[10]	2[170]	6	7	0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;4): 7 Для этого в перспективную клетку (3;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	5	0[90]	9[100][-]	0[80][+]	270
2	5[190][+]	4	8	10	0[30][-]	220
3	4[10][-]	2[170]	6	7[+]	0	180
Потребности	200	170	90	100	110

Цикл приведен в таблице (3,4; 3,1; 2,1; 2,5; 1,5; 1,4; ). Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 1) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	7	5	0[90]	9[90]	0[90]	270
2	5[200]	4	8	10	0[20]	220
3	4	2[170]	6	7[10]	0	180
Потребности	200	170	90	100	110

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=5	v2=4	v3=0	v4=9	v5=0
u1=0	7	5	0[90]	9[90]	0[90]
u2=0	5[200]	4	8	10	0[20]
u3=-2	4	2[170]	6	7[10]	0

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij. Минимальные затраты составят: F(x) = 0*90 + 9*90 + 0*90 + 5*200 + 0*20 + 2*170 + 7*10 = 2220 Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приведено решение двойственной транспортной задачи и анализ оптимального плана.

Графическое изображение плана