37

EXCEL

Задачи теории массового обслуживания

(Учебно – методическое пособие )

Содержание

Введение 3

1 Основные положения теории систем массового обслуживания (СМО). 4

1.1 Определение интенсивности потока заявок и загрузки каналов обслуживания 6

1.2 Анализ функционирования системы массового обслуживания 10

1.3 Критерии качества функционирования СМО 16

2 Расчет основных характеристик СМО 18

2.1 Пример 1 18

2.2 Пример 2 24

2.3 Пример 3. 27

3 Задания для самостоятельного решения 29

3.1 Задача1. 29

3.1.1 Задача 2 32

3.1.2 Задача 3 33

3.1.3 Задача 4 35

3.2 Литература 37

Введение

Деятельность любого торгового предприятия, прежде всего, связана с обслуживанием покупателей. Успешность его деятельности во многом определяется оптимальной организацией работы продавцов, количеством зон обслуживания потока покупателей , своевременной разгрузки поступающих товаров и др.

.Основным признаком такой деятельности является существование некоторой обслуживающей системы (системы массового обслуживания (СМО)) , которая обеспечивает обработку поступающих в нее потока заявок на обслуживание. Как правило, заявки в систему поступают нерегулярно (случайным образом) и , учитывая то, что любая обслуживающая система имеет ограниченные возможности, периодически (в противном случае она оказывается убыточной) в системе могут возникать очереди на обслуживание, а часть заявок может получит отказ, а в отдельных случаях просто простаивать из- за отсутствия заявок (покупателей).

В связи с этим, одним из критериев работы торгового предприятия является время выполнения отдельных операций по обслуживанию покупателей.

Для населения затраты времени на покупку включают время на дорогу, повторное посещение магазина, выбор товара, ожидание в очередях, оплату и упаковку товара и др.

Проведенные исследования структуры затрат времени как продавцов так и покупателей говорят о том, что значительная часть времени расходуется непроизводительно. Так например, по оценке экономистов на ожидание в очередях покупатели тратят более 25 -30% времени и практически столько же на - ожидание очереди на оплату и упаковку приобретенного товара.

В качестве другого примера может быть приведена задача определения количества расчетных узлов (касс), необходимых для качественного и экономически оправданного обслуживания покупателей. Оптимальным вариантом решения задачи будет тот, при котором время обслуживания будет минимальным; качество – высоким; затраты на создание мест обслуживание и их работу должны быть минимальными.

Подобные задачи могут решаться с использованием математического аппарата теории систем массового обслуживания.

1Основные положения теории систем массового обслуживания (смо).

Системы массового обслуживания можно разделить на три типа:

• СМО с отказами . Особенностью систем такого типа является то, что

  • время ожидания заявок (k) в очереди t_оч = 0,

  • так как существование очереди невозможно, длина очереди I_оч = 0,

  • вероятность возникновения очереди на обслуживание заявок (покупателей…) Р_оч =0.

    • При отсутствии заявок на обслуживание (k=0) – наблюдается простой каналов¹;

    • При 1  k  n – происходит обслуживание заявок;

    • При k > n происходит выполнение заявок, образование очереди и отказ в выполнении поступивших заявок на обслуживании ( при занятости всех каналов).

Основными показателями таких СМО являются:

• Р_отк – вероятность отказа в обслуживании поступивших заявок;

• Р_обс – вероятность обслуживания поступивших заявок;

• Р₀ – вероятность простоя каналов обслуживания (отсутствие заявок);

• t_пр - среднее время простоя канала обслуживания;

• t_обсл – среднее время обслуживания;

• n_зан и n_св – количество занятых и свободных каналов обслуживания, соответственно;

• А – абсолютная пропускная способность СМО.

• Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Р_обс =1, так как любая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Такая СМО может иметь следующие состояния:

  • при k = 0 – система простаивает (находится в режиме ожидания заявок);

  • при 1  k  n - обслуживание;

  • при k > n – образуется очередь.

Основные показатели:

• L_оч – среднее число заявок в очереди;

• Z - среднее число заявок в СМО;

• T_смо – среднее время пребывания заявки в СМО;

• А – абсолютная пропускная способность СМО.

• Для с ожиданием и ограничением на длину очереди (max L_оч=m) при:

  • при k = 0 – система простаивает (находится в режиме ожидания заявок);

  • при 1  k  n - обслуживание;

  • при 1  k  n+m - обслуживание, очередь и отказ в обслуживании.

Основные показатели:

• Р_отк – вероятность отказа в обслуживании поступивших заявок;

• Р_обс – вероятность обслуживания поступивших заявок;

• L_оч – среднее число заявок в очереди;

• Z - среднее число заявок в СМО;

• T_смо – среднее время пребывания заявки в СМО;

• А – абсолютная пропускная способность СМО.