5.Минимизация числа состояний автомата

Минимизация автомата, эквивалентного полученному в предыдущем разделе полностью определенному автомату, проводится в два этапа. Сначала множество состояний автомата разбивается на классы эквивалентности, а затем строится минимальный (приведенный) автомат.

Рассмотрим алгоритм приведения автомата для случая модели Мура, к которой относится рассматриваемый пример.

Построим треугольную таблицу (табл.6), клетки которой соответствуют всем парам рабочих состояний (q_i,q_j) ij, т.е. состояний, отличных от q₂₀ «Ошибка». Если для рабочих состояний q_i и q_j в табл.5 существует входной символ х₁, при котором переход из q_i осуществляется в одно из рабочих состояний, а из q_j в состояние ошибки, то состояние q_i и q_j не эквивалентны, и соответствующая им клетка помечается крестом. То есть, если какие - либо две строчки табл.5 содержат разное число рабочих состояний или отличаются позициями, занимаемыми рабочими состояниями, то обозначающие эти строки состояния не эквивалентны. В противном случае в клетку табл.6 с координатами q_i, q_j запишем каждую пару состояний (q_s,q_t), ts, в которые автомат может перейти из q_i и q_j при подаче одного и того же входного символа (количество этих пар равно числу столбцов с рабочими состояниями в строке q_i и q_j табл.5).

В рассматриваемом случае в табл.5 автомат из состояния q_o переходит в рабочие состояния при входных символах х₃, х₅, х₇, при остальных входных символах, q_o переходит в состояние q₂₀ «Ошибка». Других состояний, которые оказываются в рабочих состояниях при том же наборе входных символов (х₃, х₅, х₇) нет, поэтому в столбце q_o табл.6 все клетки следует вычеркнуть. То же можно сделать со столбцами q_1,3, q_2. Из состояния q₄ автомат переходит в состояния q₆ при входном символе х₁, и при этих же символах в рабочие состояния автомат переходит из состояний q₁₃, q₁₆, q₁₈, поэтому три клетки в столбце q₄ не должны вычеркиваться. Проделав эту операцию со всеми столбцами, теперь необходимо определить явность эквивалентности пар состояний. Для этого берем не вычеркнутые клетки в табл.5, например {q₄ и q₁₃} и проверяем на рис.4 эти два состояния. Если оба состояния переходят при одинаковом x_i, в одно и то же состояние q_i, то пары состояний явно эквиваленты. В нашем примере, пары {q₄ и q₁₃} переходят при одинаковом x₁, но в разные состояния (q₄ в q₆, а q₁₃ в q₁₉), следовательно пара состояний не эквивалента и клетку необходимо вычеркнуть. А пара состояний {q₁₃ и q₁₆} будет эквивалента, т.к. переход осуществляется по x₁ в состояние q₁₉ как из q₁₃, так и из q₁₆.

Таблица 6

0

1,3

X

2

X

X

4

X

X

X

5

X

X

X

X

6

X

X

X

X

7

X

X

X

X

8

X

X

X

X

X

X

X

9

X

X

X

X

X

X

X

10

X

X

X

X

X

X

X

X

X

11,17

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

12

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

13

X

X

X

+

X

X

X

X

X

X

X

X

14

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

15

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

16

X

X

X

+

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

18

X

X

X

+

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

19

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

0

1,3

2

4

5

6

7

8

9

10

11,17

12

13

14

15

16

18

19

Не вычеркнутые клетки результирующей таблицы соответствуют всем парам эквивалентных состояний.

Класс эквивалентности образуется состояниями, которые попарно эквивалентны. В данном случае образуются следующие пары эквивалентных состояний: {q₅ и q₆} {q₅ и q₇} {q₆ и q₇} {q₈ и q₉} {q₁₂ и q₁₅} {q₁₃ и q₁₆} {q₁₃ и q₁₈} {q₁₆ и q₁₈}.

Всего восемь пар попарно эквивалентных состояний. Эти состояния образуют пять классов эквивалентности: {q₅, q₆, q₇}, {q₈, q₉}, {q₁₂ , q₁₅}, {q₁₃, q₁₆ , q₁₈}.

Каждое состояние, не вошедшее ни в один класс эквивалентности, эквивалентно лишь само себе и само образует этот класс. В рассматриваемом примере к нерасчлененным пяти классам необходимо добавить еще семь классов эквивалентности: q₀; q_1,3; q₂; q₄; q_11,17; q₁₄; q₁₉.

Состояние минимального автомата обозначим буквами r с индексами

r₀ = {q₀}; r₁={q_1,3}; r₂={q₂}; r3={q₄}; r4={q₅, q₆, q₇}; r₅={q₈, q₉}; r₆={q₁₀}; r₇={q_11,17}; r₈={q₁₂, q₁₅}; r₉={q₁₃, q₁₆, q₁₈}; r₁₀={q₁₄}; r₁₁={q₁₉}.

Таким образом, минимальный автомат содержит 12 состояний, не считая состояния r₁₂⁼{q₂₀} "Ошибка". Орграф этого автомата приводится на рис.5 (без указания состояния «Ошибка»), а таблица переходов в табл.7.

Рис.5

Проанализировав полученный граф, можно выявить девять цепочек переходов по графу: 51400; 5145; 56100; 5615; 700; 75; 3501; 36751; 37751; и три цепочки: 51403; 56103l; 703; при которых происходит возвращение к начальному состоянию автомата S = r₀.

В этой таблице, также как и в табл. 5, незаполненные клетки соответ-ствуют состоянию «Ошибка».

Таблица 7

	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
r0				r6		r1		r4
r1			r2				r3
r2					r4
r3		r4
r4	r5					r11
r5	r11			r0
r6							r7	r10
r7	r9							r8
r8						r9
r9		r11
r10								r8
r11