Подобие тепловых процессов

Дифференциальное уравнение Фурье-Кирхгофа.

Это уравнение представляет собой общий закон распределения температур в жидкости (выражает закон сохранения энергии). Температура в общем случае изменяется в пространстве и во времени .

Выделим в неустановившемся потоке не сжижаемой жидкости элементарный параллелепипед.

Рассмотрим уравнение теплового баланса, принимая, что

1)плотность , теплопроводность и теплоёмкость жидкости C_р – постоянны;

2) температура жидкости изменяется вдоль граней параллелепипеда;

3) скорость движения жидкости такова, что изменением кинетической энергии по сравнению с изменением энтальпии можно пренебречь.

Ясно, что все подведенное тепло будет затрачиваться на изменение его энтальпии.

1. Изменение количества тепла за счет конвективного изменения вдоль оси x. Удаляется тепло через противоположную грань.

Разность вдоль оси x составит:

;

Вдоль оси Y: ;

Вдоль оси Z: ;

Общее количество тепла, вносимого в параллелепипед (оставшегося в нем) путем конвекции за время

Согласно уравнению неразрывности потока выражение в квадратных скобках = 0.

Тогда:

2. Перенос тепла теплопроводностью.

За счет теплопроводности через грань в направлении оси X входит тепло.

Выходит тепло через противоположную грань

Разность вдоль оси X:

Вдоль оси Y:

Вдоль оси Z:

Общее количество тепла, вносимое в параллелепипед (оставшееся) путем теплопроводности за время

Или - сумма вторых производных по осям – оператор Лапласа ( ²t):

Суммарное количество тепла, подведенное конвекцией и теплопроводностью:

Это количество тепла вызовет изменение энтальпии параллелепипеда:

Выражение в скобках – изменение температуры параллелепипеда за время (локальное).

Сл-но:

После сокращений:

или

где: – коэффициент температуропроводности.

Это уравнение Фурье-Кирхгофа, выражающее в общем виде распределение температур в движущейся жидкости.

– коэффициент температуропроводности.

Явный вид функции t=f(x,y,z, ) может быть получен при интегрировании уравнения Фурье–Кирхгофа совместно с уравнением движения с учетом начальных и гран.условий рассмотрения процесса.

Размерность:

= [ ] = [ ] = [ ]

Коэффициент температуропроводности характеризует теплоинерцион-ные свойства жидкости: быстрее нагреется или охладится тело, обладающее большим коэффициентом температуропроводности.

Существенен для нестационарных процессов (входит в критерий F₀). Для твердых тел и уравнение Фурье – Кирхгофа превращается в дифференциальное уравнение теплопроводности.

или

Теплопроводность плоской стенки

Для неустановившегося процесса уравнение теплопроводности

Для установившегося ( ) и

Поскольку , то:

Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при установившемся режиме.

Длина и ширина стенки бесконечно велики по сравнению с толщиной. Примем, что температура изменяется только в направлении оси X, т.е. температуре поле одномерное ( ).

– толщина стенок.

– теплопроводность.

Температуры и – const (установившийся режим)

Тогда:

Проинтегрируем это уравнение, получим:

(3)

Отсюда следует, что температура по толщине стенки прямолинейна константы и определяются из граничных условий:

При x=0 t=

Из уравнения (3);

При t=

Уравнение принимает вид:

t= =C₁ + ; откуда находим:

подставим значения и в уравнение (3), находим:

Тогда:

Подставим полученное выражение в уравнение Фурье

Или:

В интегральной форме:

– тепловая проводимость стенки;

– тепловое сопротивление.

Эта формула справедлива также для тонкостенных труб при

Расчет теплоизоляции

Теплопроводность многослойной стенки.

При установившемся процессе через каждый слой стенки пройдет одно и то же количество тепла.

или

или

или

или

Складывая, получим:

Или – уравнение теплопроводности многослойной стенки

где n – число слоев.

Термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений слоев.