Решение.
Пусть
Q —
середина ребра CD,
P —
середина ребра ВD.
По теореме о средней линии треугольника
;
следовательно, точки М,
Т,
Р,
Q
лежат в одной плоскости.
,
следовательно, точки М,
Т,
Р,
Q
являются вершинами параллелограмма.
Кроме того,
,
а по теореме о трёх перпендикулярах
(так как
),
поэтому этот параллелограмм —
прямоугольник. Значит, искомое расстояние
есть длина отрезка РТ.
Отрезок АО
равен
.
По теореме Пифагора
;
а
.
Ответ:
.
Содержание критериев оценивания задачи С3 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. |
2 |
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Решите систему Broken TeX
Решение.
Решения
обоих неравенств ищем при условии
.
Так как при этом условии
то
решая первое неравенство, получаем
Решая второе неравенство, получаем:
Решение
системы является общей частью решений
двух неравенств. Так как
получаем:
или
Ответ:
Содержание критериев оценивания задачи С4 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В
треугольнике ABC
,
,
.
Точка D
лежит на прямой BC
причем
.
Окружности, вписанные в каждый из
треугольников ADC
и ADB
касаются стороны AD
в точках E
и F.
Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Пусть
.
Подсчитывая разными способами периметры
треугольников и получаем:
.
Возможны
два случая:
1. Точка D
лежит на отрезке BC.
Тогда
значит,
.
2. Точка d лежит вне отрезка bc. Тогда . Значит, .
Ответ: 4,5 или 6.
Содержание критериев оценивания задачи С5 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
4 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. |
3 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. |
2 |
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Найдите
все значения параметра а,
при каждом из которых система
имеет
ровно 8 решений.