2. Комбинаторика: предмет и задачи. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Комбинаторика: предмет и задачи.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому целями комбинаторного анализа являются изучение комбинаторных конфигураций, алгоритмов их построения, оптимизации таких алгоритмов, а также решение задач перечисления. Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения, сочетания и разбиения.

Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.Размещением из n элементов по m или упорядоченной (n,m) – выборкой называется любой кортеж , состоящий из m попарно различных элементов множества М. Размещение можно рассматривать как разнозначную функцию f: . Число размещений из n по m обозначается или P(n,m). . Размещением с повторениями (или выборкой с возвращениями) называется любой кортеж элементов множества М мощности n.

Сочетанием из n элементов по m или неупорядоченной (n,m) – выборкой называется любое подмножество множества М, состоящее из m элементов. Число сочетаний из n по m , так как из одного сочетания можно получить m! размещений. Сочетания с повторениями из n элементов по m или неупорядоченной выборкой с возвращениями называется любой класс эквивалентности множества размещений с повторениями по отношению , которое определяется следующим образом: , если для любого число элементов равных с совпадает с числом элементов . Другими словами, сочетания с повторениями – это множества, которые состоят из элементов, выбранных m раз из множества М, причем один и тот же элемент допускается выбирать повторно.

Число сочетаний с повторениями:

Перестановкой элементов множества M является любой кортеж , состоящий из n различных элементов множества M. Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов

Теорема 7 (Бином Ньютона). .

Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов.

1. . 3. .

2. . 4. .( треугол Паскаля рисуй!!!!)

Некоторые свойства биномиальных коэффициентов легко выводятся из бинома Ньютона. Приведем два из них.

5. . Это получается из формулы бинома, если положить .

6. . Это получается при .

3. Элементы общей алгебры. Алгебры и подалгебры. Свойства алгебраических операций. Изоморфизм и гомоморфизм. Основные алгебраические структуры.

Наука состоит из двух частей: концептуальной (теория, понятия) и вычислительной частей (комбинаторика и проч.).Алгебра.DEF Если А – непустое множество и , то n-арной операцией на множесте А назовем отображение прямого произведения (n раз) в А. Рассматриваются и 0-арные операции, которые, по определению, отмечают некоторый элемент из А. В классических алгебраических системах (группах, полугруппах, кольцах и т.п.) основной упор делается на бинарные операции. Однако, по существу, там рассматривались и унарные (например, в группах отображение ) и 0-арные (например, выделяющие 0 и 1 в кольце Пара , где А – непустое множество, а - (возможно, пустое) множество операций на А, называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй. DEF где M – множество (носитель, основа алгебры), называется алгеброй, если , область значений и область определения принадлежат М, т.е. множество замкнуто относительно функции f. Подалгебра.Элемент алгебры А, отмечаемый 0-арной операцией v, условимся обозначать через v(A). Подмножество называется подалгеброй, если для всякой 0-арной операции , а если и f – n-арная операция из , то для любых . Таким образом, если содержит 0-арные операции, то всякая подалгебра непуста. В противном случае пустое подмножество считается подалгеброй. Легко проверяется, что пересечение любого множества подалгебр является подалгеброй. Каждая непустая подалгебра является, очевидно, алгеброй с теми же операциями. Если , то пересечение всех подалгебр алгебры А, содержащих множество М, называется подалгеброй, порожденной множеством М. Если это пересечение совпадает с А, т.е. А является единственной подалгеброй, содержащей М, то говорят, что алгебра А порождается множеством М. DEF Структура , где - множество, - операция, называется подалгеброй алгебры , если выполняются следующие условия: 1)те же операции 2) 3) Операции замкнуты на (т.е. область значения операций принадлежит )

Сигнатуры.Совокупность операций можно рассматривать отдельно от алгебры. Правда в этом случаем правильнее было бы говорить о множестве операционных символов, которое будем называть сигнатурой. Если - сигнатура и каждому операционном символу из поставлена в соответствие операция той же самой арности на множестве А, то возникает алгебра сигнатуры . Сигнатура кольца может быть записана как , где + и - бинарные операции сложения и умножения, - унарная операция , 0-арная операция, отмечающая нуль.. В вики написано, что сигнатура – набор операций и отношений. Что согласуется с тем, что написано в учебнике Скорнякова Л.А. - Элементы общей алгебры (фрагмент из которой вставлен выше).

Свойства алгебраических операций. 1) ассоциативность (сочетательный закон) Пример: операции обладают этим свойством вычитание – не обладает

1. коммутативность (переместительный закон)

Пример: умножение матриц не коммутативно

2. дистрибутивность а) (слева)

б) (справа) Пример:

1)

2) (здесь запись означает ).Пример: 1) возведение в степень не дистрибутивно относительно умножения 2) Изоморфизм. Две системы, рассматриваемые отвлеченно от природы составляющих их элементов, являются изоморфными друг другу, если каждому элементу первой системы соответствует лишь один элемент второй и каждой связи в одной системе соответствует связь в другой и обратно. Такое взаимооднозначное соответствие называется изоморфизмом. Полный изоморфизм может быть лишь между абстрактными, идеализированными объектами, напр., соответствие между геометрической фигурой и ее аналитическим выражением в виде формулы.Изоморфизм - взаимооднозначный гомоморфизм. Пусть имеются две алгебры с одинаковыми сигнатурами и одинаковым количеством операций . Установим биекцию

Что же такое изоморфизм? Схема поясняет, что две алгебры изоморфны, если мы смогли устроить биекцию таким образом, что нет разницы, что действовать операцией на элементы из А и затем ее результат отражать в В , что отразить элементы из А в В и применять к ним операцию . .

Если это выполняется, то алгебры в некотором смысле неразличимы, два объекта совпадают с точностью до изоморфизма (взаимнооднозначного отражения).

Пример. Карта и местность. В любой момент можно перейти с карты на местность и наоборот.