10. Классификация поверхностей второго порядка.

Центром поверхности второго порядка S называется такая точка пространства, по отношению к которой точки этой поверхности расположены симметрично парами. Точка является центром поверхности второго порядка, определяемой уравнением (3.1), в том и только том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

(3.17)

Определитель этой системы равен . Если , то система имеет единственное решение. В этом случае поверхность будет иметь единственный центр, координаты которого определены формулами:

(3.18)

Такую поверхность второго порядка называют центральной.

Классификация поверхностей второго порядка по группам (теорема 2) совпадает с классификацией поверхности второго порядка по характеру центров (точка, прямая, плоскость, нет центров).

Если система (3.17) несовместна

Задания для курсовой работы

Задание 1. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

1. С помощью инвариантов определить зависимость типа кривой от .

2. При привести данное уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота. Построить кривую в канонической системе координат.

3. При нескольких значениях параметра построить кривые, определяемые данным уравнением.

Задание 2. Для данного уравнения поверхности второго порядка:

1. Определить тип поверхности (с помощью инвариантов).

2. Привести уравнение к каноническому виду.

3. Исследовать форму поверхности методом сечений.

4. Построить поверхность в канонической системе координат.

Примечания:

5. Структура курсовой работы:

- титульный лист

- оглавление

- задания (постановка задачи)

- выполнение заданий (аналитическая часть и графические иллюстрации)

- выводы (анализ полученных результатов)

- список литературы

- дата и подпись исполнителя

2. Студент обязан выдерживать график выполнения курсовой работы (сроки выполнения отдельных заданий и оформления работы), согласованный с руководителями.

3. Руководителями курсовой могут быть выданы дополнительные задания.

4. При выполнении графической части работы рекомендуется проиллюстрировать все основные случаи.

Например:

а) при выполнении задания 1 следует построить кривые всех возможных типов для данного уравнения с параметром;

б) при исследовании формы поверхности методом сечений в задании 2 следует построить сечения координатными плоскостями и несколькими параллельными им плоскостями.

Варианты:

В1. 1. .

2. .

В2. 1. .

2. .

В3. 1.

2.

В4. 1.

2.

В5. 1.

2.

В6. 1.

2.

В7. 1.

2.

В8 1.

2.

В9 1.

2.

В10 1.

2.

В11 1.

2.

В12 1.

2.

В13 1.

2.

В14 1.

2.

В15 1.

2.

В16 1.

2.

В17 1.

2.

В18 1.

2.

В19 1.

2.

В20 1.

2.

В21 1.

2.

В22 1.

2.

В23 1.

2.

В24. 1.

2.

В25. 1.

2.

В26. 1.

2.