Приведение к каноническому виду уравнения центральной кривой

Пусть дано уравнение (1.1), определяющее центральную кривую второго порядка Г.

а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку - центр данной кривой.

Определим координаты центра по формулам (1.16).

В новой системе координат уравнение (1.1) будет иметь вид (см. (1.26))

. (1.33)

Коэффициенты уравнения (1.33) связаны с коэффициентами уравнения (1.1) соотношениями (1.25).

б) Если , то дальнейшее упрощение уравнения (1.33) достигается при помощи поворота осей координат на угол , удовлетворяющему условию (1.31). В результате поворота получится уравнение вида

(1.34)

соответствующее одному из канонических уравнений 1), 2), 3), 4), 5) ( см. теорему 1). Коэффициенты уравнения (1.34) связаны с коэффициентами уравнения (1.33) соотношениями (1.29).

Приведение к каноническому виду уравнения кривой параболического типа

Пусть дано уравнение (1.1), определяющее центральную кривую второго порядка Г.

а) Если , то выполним преобразование помощи поворота осей координат на угол , удовлетворяющему условию (1.30). Получим уравнение вида

(1.35)

Коэффициенты уравнения (1.35) связаны с коэффициентами уравнения (1.1) соотношениями (1.29). Приведем уравнение (1.35) к виду

(1.36)

б) Дальнейшее упрощение уравнения (1.36) достигается при помощи преобразования параллельного переноса:

(1.37)

В результате получится уравнение вида

(1.38)

соответствующее одному из канонических уравнений 6), 7), 8), 9).

6. Схема приведения кривых 2-го порядка к каноническому виду

1. Вычисляются значения инвариантов для заданного уравнения кривой 2-ого порядка;

2. Уравнение преобразовывается в соответствии с ниже приведенной таблицей:

Централные кривые I2 ≠ 0	I2 > 0		Вид кривой	Необходимое преобразование координат	Каноническое уравнение после преобразования
			Эллипс: а) -действительный, б) - мнимый *	1) Перенос начала в центр кривой, координаты которого x0 и y0: 2) Поворот осей на угол , определяемый из: Знак sin(2) должен совпадать со знаком 2b; угловой коэффициент новой оси Ox' :	a’ и c’ являются корнями квадратного уравнения:
			Пара мнимых * прямых, имеющих общую действительную точку
	I2 < 0		Гипербола
			Пара пересекающихся прямых
Параболические кривые **			Парабола	1) Перенос начала в вершину параболы, координаты которой x0 и y0 определяются из уравнений: 2) Поворот осей на угол , определяемый из: Знак sin() должен быть противоположен знаку a;
			Пара прямых, параллельных, при d2-af>0; сливающихся, при d2-af=0; мнимых *, при d2-af<0;	Поворот осей на угол , определяемый из: Знак sin() должен быть противоположен знаку a;	приводиться к виду:

^* Может оказаться, что данному общему уравнению не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости (например, x²+y²+1=0); тогда условно говорят, что данное уравнение изображается мнимой кривой.

^** В случае предполагается, что ни один из коэффициентов a, b, с не равен нулю. Если два коэффициента (а и b или b и c) равны нулю, то упрощение уравнения сводится к параллельному пере­

носу осей; уравнение су² -2dx+2ey+f= 0 преобразуется к виду (y-у₀)² = 2p(x-x₀), а уравнение аx²+2dx+2ey+f=0- к виду (x-x₀)² = 2p(y-y₀).