Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости
Пусть две прямые заданы одним из следующих способов:
1.
,
,
где
и
- угловые коэффициенты прямых.
2.
,
,
где
и
направляющие векторы прямых.
3.
,
,
где
и
нормальные векторы прямых.
Тогда условия параллельности и перпендикулярности этих прямых выглядят соответственно:
(i)
,
;
(ii)
(т.
е.
),
;
(iii)
(т.
е.
)
и
(j)
;
(jj)
(т. е.
);
(jjj)
(т. е.
).
Отметим,
что из (jjj)
следует (j),
так как
,
и
(
и
).
Вычисление угла между прямыми на плоскости
Если две пересекающиеся прямые заданы уравнениями
, ,
и не перпендикулярны, то угол между ними находится из формулы
.
Эта
формула следует из того, что если
и
,
то
,
.
.
Если прямые заданы каноническими уравнениями
,
,
то удобно воспользоваться формулой
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
П
усть
прямая на плоскости проходит через
точки
и
.
Точка M
с координатами
лежит на данной прямой тогда и только
тогда, когда векторы
и
коллинеарны. Таким образом, уравнение
прямой, проходящей через точки
и
,
имеет вид
.
Уравнение нормали к прямой
П
усть
точка
лежит на данной прямой. Нормалью
к прямой в точке
называется прямая, перпендикулярная
данной и проходящая через точку
.
Случай 1. Прямая задана уравнением
,
,
тогда уравнение нормали имеет вид
.
Случай 2. Прямая перпендикулярна оси :
уравнение
прямой,
уравнение нормали к этой прямой.
Случай 3. Прямая перпендикулярна оси :
уравнение прямой, уравнение нормали к этой прямой.
Замечание. Если прямая задана уравнением
,
то уравнение нормали имеет вид
,
действительно
.
Уравнения прямых и плоскостей в аск
Пусть
задана произвольная АСК
,
пусть
- направляющий вектор прямой,
фиксированная точка на прямой,
произвольная точка прямой,
и
радиус векторы точек
и
соответственно.
Имеем
.
Тогда векторное уравнение прямой
записывается в виде
,
(1)
а параметрическое в виде
,
(2)
где - вещественный параметр.
Уравнения
(1) и (2) выражают условие коллинеарности
векторов
и
(т. е.
и
).
Если
,
,
и
,
,
- аффинные координаты точек
и
соответственно в данной системе, то
,
.
Раскладываем
вектор
по базису
:
.
Из уравнения (2) получаем
(3)
Уравнения
(3) так же называют параметрическими
уравнениями прямой. В этих уравнениях
.
Плоскость
в АСК может быть задана фиксированной
точкой
этой плоскости и двумя не коллинеарными
векторами
и
,
лежащими в этой плоскости. Точка
лежит на данной плоскости тогда и только
тогда, когда вектор
компланарен векторам
и
,
отсюда получаются уравнения
,
(4)
,
(5)
где
и
- вещественные параметры.
Полагая
и
,
из уравнения (5) получаем параметрическое
уравнение плоскости
Отметим,
что начальная точка
и векторы
,
образуют на данной плоскости внутреннюю
систему координат. Значения параметров
и
являются координатами точки
относительно этой выбранной системы
координат, так как
.
В
качестве нормального вектора данной
плоскости можно выбрать вектор
.
Из уравнения (4) получаем
.
Обозначим
и запишем последнее уравнение в виде
.
Раскладывая
вектор
по данному базису
,
получим
,
где
,
,
- координаты точки
.
Подставив вектор
в координатной форме в выражение
,
получаем
.
Полагая
,
,
перепишем последнее уравнение в виде
.
(6)
Всякая плоскость в АСК имеет уравнение вида (6), верно и обратное утверждение – всякое уравнения вида (6) задаёт плоскость.
Замечание
1. В случае,
когда
- декартова система координат вектор
является нормальным вектором для
плоскости (6). В общем случае это не так.
Замечание
2.
Произвольная
прямая в АСК на плоскости имеет уравнение
,
при этом вектор
может не быть нормальным для данной
прямой.