3.9. Модель компенсированного бюджета потребителя.

Рассмотрим ситуацию, когда в результате неблагоприятного изменения условий рыночной конъюнктуры, повлекших повышение цен на одно или несколько благ, потребителю, с целью сохранения достигнутого за предыдущие интервалы времени уровня потребительской полезности, необходимо определить денежную компенсацию к первоначальному бюджету. Предполагается, что потребитель полностью осведомлен о состоянии своих потребительских предпочтений и выборов, осуществленных на предыдущих временных интервалах.

Как и в модели (3.11), (3.12’), (3.13) допустим, что предпочтения потребителя описываются априорно заданной СФПП , и  вектор рыночных цен на приобретаемые блага и размер бюджета потребителя соответственно. Тогда  новый вектор цен, соответствующий изменившимся рыночным условиям.

Таким образом, необходимо определить минимальный размер дополнительной компенсации , на величину которой требуется увеличить первоначальный бюджет потребителя M с целью сохранения его достигнутой ранее потребительской полезности, соответствующей изокванте

_{Cформулируем математическую постановку задачи определения компенсированного бюджета потребителя:}

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Модель (3.48)-(3.52) является задачей на условной экстремум с ограничениями в виде неравенств и функционалом на минимум. Для того, чтобы использовать необходимые условия оптимальности теоремы Куна-Таккера, требуется показать, что функционал (3.48) и система ограничений (3.49)-(3.52) являются выпуклыми на функциями.

Функционал задачи (3.48)-(3.52) (выражение (3.48)) является линейной функцией одной переменной, а, следовательно,  выпуклая функция.

Аналогично, также является выпуклой в экономической области потребителя.

Наконец, поскольку, согласно условию (3.5), СФПП на является вогнутой по каждому аргументу, то  выпуклая на функция.

Кроме того, в экономической области потребителя всегда найдется такой набор благ и такое , для которых справедливы следующие условия:

; (3.53)

. (3.54)

Следовательно, установлено, что экономическая область потребителя удовлетворяет условию Слейтера, что позволяет построить функцию Лагранжа модели (3.48)-(3.52):

. (3.55)

Используем условия оптимальности теоремы Куна-Таккера:

; (3.56)

(3.57)

(3.58)

; (3.59)

, (3.60)

где  решение системы уравнений (3.56) - (3.60).

Условия оптимальности (3.56) - (3.60) решения модели компенсированного бюджета потребителя (3.48)-(3.52) позволяют установить экономическое содержание множителей Лагранжа и .

Так, множитель Лагранжа , являющийся двойственной оценкой бюджетного ограничения (3.50), показывает величину, на которую снизится объем компенсации потребителю в случае, если его первоначальный бюджет увеличится на одну денежную ед. Этот результат вполне ожидаем: каждая дополнительная ед. собственных средств потребителя вытесняет некоторый объем дополнительных средств, авансируемых на покупку товара.

Множитель (двойственная оценка ограничения (3.49) в точке ) характеризует рыночную цену набора благ, приходящуюся на ед. его предельной полезности, и, как следует из свойств оптимального решения модели потребительского выбора, является постоянной для всех благ из набора . Более того, увеличение минимальной общей полезности на одну ед. ведет к увеличению объема дополнительно привлекаемых потребителем бюджетных средств на величину двойственной оценки .