2. Методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Однородное уравнение можно преобразовать к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки , где - новая неизвестная функция.

Найдем dy по правилу нахождения производной произведения: или .

Сформулируем алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений:

1. Выполнить подстановки: и . В получившемся дифференциальном уравнении раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.

2. Проинтегрировать обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных x и z. Найти общее решение дифференциального уравнения.

3. В общем решении вернуться к переменным x и у, подставив вместо z выражение: .

4. Выписать в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 39.2. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

.

Раскроем скобки:

.

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

.

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие dx, в правой – выражения, содержащие dу.

.

Тогда или - уравнение с разделёнными переменными.

2. Интегрируя обе части, получим: или .

3. Подставим вместо z выражение: : или . Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. Какие функции называют однородными функциями п-го порядка?

2. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка?

3. Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений являются однородными: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ?

4. Какова методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка?

Лекция 40. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

План:

1. Понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методика решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид , где и - заданные функции, содержащие только переменную х.

Данное дифференциальное уравнение получило название "линейное" поскольку содержит функции у и в первой степени (линейное относительно у и ).

Например, уравнение будет являться линейным, поскольку имеет вид , где , а .

Уравнение вида легко приводится к линейному делением каждого слагаемого на х (множитель перед ): или . Полученное уравнение действительно является линейным, поскольку имеет вид , где , а .

2. Методика решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Чтобы решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка применяют метод Бернулли. Основа метода заключается в том, что используется подстановка , где u и v – некоторые функции от переменной х. Тогда для нахождения можно применить правило дифференцирования произведения: .

Рассмотрим сущность метода Бернулли на конкретном примере.

Пример 40.1. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

.

2. Сгруппируем члены, содержащие u, и вынесем u за скобки:

;

(*).

3. Считая, что неизвестная функция у является произведением двух также неизвестных функций u и v, мы можем одну из этих функций (v) выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию v:

- уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим . Тогда:

. Взяв интегралы от обеих частей, получим, что

. Но поскольку функцию v мы выбираем произвольно, удобно константу С взять равной нулю. Тогда , а .

Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию v ( ).

4. Вернёмся к уравнению (*). Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение (*) примет вид: или .

Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию и:

. Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на х:

или . Тогда . Константу С здесь писать обязательно!

Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию и ( ).

5. Решением исходного уравнения будет являться функция . Функции u и v были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение , найдем, что - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Из приведенного примера несложно установить алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Привести дифференциальное уравнение к виду и ввести подстановки: и .

2. Сгруппировать члены, содержащие u, и вынести u за скобки.

3. Приравнять к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию v (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и х). Функция v не должна содержать константу С!

4. Вернуться к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставить в это уравнение функцию v, найти вторую функцию и (функция и содержит константу С).

5. Подставить функции u и v, найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция у является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.

Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию v через х. Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить v:

1. .

2. .

3. .

Контрольные вопросы:

1. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?

2. Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений являются линейными: а) ; б) ; в) ?

3. Какова методика решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка?