4. Приложение дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось, дифференциальные уравнения находят широкое применение в практической деятельности человека. Рассмотрим некоторые задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений.

Пример 38.6. Составить уравнение линии, проходящей через точку М(2;-3) и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Решение. Обратимся к геометрическому смыслу производной: k = или . Поскольку задано в условии задачи, то можно составить уравнение:

- простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.

- семейство линий, имеющих в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Выделим уравнение одной линии, проходящей через точку М(2;-3). Подставим в уравнение значения и :

.

Получили, что - уравнение линии, проходящей через точку М(2;-3) и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Ответ: .

Пример 38.7. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найдите закон движения тела, если при тело находилось в начале координат.

Решение. Воспользуемся физическим смыслом производной: . Поскольку задано в условии задачи, то можно составить уравнение:

- простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.

- общее решение дифференциального уравнения.

Найдем частное решение этого уравнения. Поскольку по условию при тело находилось в начале координат, подставим в уравнение значения и : .

Подставляя С в общее решение, получим, что - искомый закон движения тела.

Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. Что называют дифференциальным уравнением?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Что называют решением дифференциального уравнения? Какова геометрическая интерпретация множества решений дифференциального уравнения?

4. Какая задача получила название задачи Коши?

5. Какие процессы в окружающем мире описываются с помощью дифференциальных уравнений?

6. Какое уравнение называют простейшим дифференциальным уравнением первого порядка? Каков принцип его решения?

7. Какие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными и разделяющимися переменными? Каков метод их решения?

Лекция 39. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

План:

1. Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка

Введем сперва понятие однородной функции: функция называется однородной функцией п-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на λ^п, т.е. .

Пример 39.1. Доказать, что функции и - однородные функции второго порядка.

Решение. Рассмотрим функцию . Подставим в нее вместо х → λх, а вместо у → λу :

= = . Получили, что , следовательно, по определению - однородная функция второго порядка.

Рассмотрим функцию . Аналогично подставив в нее вместо х → λх, а вместо у → λу, получим: . То есть = , откуда по определению - однородная функция второго порядка.

Дифференциальное уравнение вида , где и - однородные функции одинакового порядка, будем называть однородным.

Так, дифференциальное уравнение будет являться однородным в силу того, что обе функции при dx и dy – однородные второго порядка (см. пример 39.1).