Лекция 38. Дифференциальные уравнения: основные понятия

План:

1. Понятие дифференциального уравнения.

2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

4. Приложение дифференциальных уравнений.

1. Понятие дифференциального уравнения

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто используют математические модели в виде уравнений, связывающих основные параметры изучаемого процесса. И поскольку скорость изменения величин можно рассматривать как производную некоторой функции, то ряд уравнений содержат и искомую функцию, и производную этой функции.

Так, зависимость массы m вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t описывается уравнением: или , где k – коэффициент пропорциональности. "Закон размножения бактерий" (зависимость массы бактерий m от времени t) также описывается уравнением: или , где k>0.

Закон радиоактивного распада вещества ( ), закон изменения температуры тела в зависимости от времени ( ), закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря ( ) – все это примеры использования подобных уравнений в практике. Уже приведенные примеры указывают на их исключительную роль при решении разнообразных задач.

Особенностью рассмотренных выше уравнений является то, что неизвестной оказывается не одно число или пара чисел, а функция. Причем неизвестная функция находится под знаком производной. Уравнения, содержащие производные или дифференциал искомой функции называют дифференциальными уравнениями.

Например, уравнения , , , являются дифференциальными уравнениями.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения.

Так, , , - дифференциальные уравнения первого порядка, - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример 38.1. Докажите, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Найдем производную функции : . Подставим известное у и найденное в дифференциальное уравнение :

.

Получили, что - верное равенство, следовательно, функция является решением дифференциального уравнения .

Любое дифференциальное уравнение имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга на константу С. Такое множество решений получило название общего решения дифференциального уравнения. Геометрически его можно изобразить в виде семейства интегральных кривых.

При решении задач часто необходимо из всей совокупности решений дифференциального уравнения выделить одно, отвечающее конкретным требованиям. Для этого задают начальные условия: при . Геометрически это означает, что нужно выделить отдельную интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , называется задачей Коши, а полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.