3. Формула трапеций

И дея метода трапеций похожа на идею метода прямоугольников: попытаться заменить исходную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из трапеций. Для этого выполним следующие действия (рис. 47.3).

1. С помощью точек х_о=а, х₁, х₂,…, х_п=b разобьём отрезок [a;b] на п равных частей длиной .

2. На каждом отрезке [х_о;х₁], [х₁;х₂] … [х_п-1;х_п] построим трапеции, соединив отрезками точки (х₀; f(х₀)) и (х₁; f(х₁)), (х₁; f(х₁)) и (х₂; f(х₂)),…, (х_п-1; f(х _п-1)) и (х_п; f(х _п))

3. Найдем площадь каждой трапеции как произведение полусуммы её оснований на высоту. Длины оснований первой трапеции будут равны f(х₀) и f(х₁), а высота . Тогда

.

Для второй трапеции длины оснований равны f(х₁) и f(х₂), а высота та же: . Тогда .

Аналогично …

Найдем сумму площадей всех трапеций S :

+ +…+ .

Вынесем за скобки: =

= =

= или

.

Поскольку сумма площадей всех трапеций S приближенно равна площади криволинейной трапеции, то можно считать, что

(3)– формула трапеций.

Пример 47.2. Вычислите приближенное значение определенного интеграла по формуле трапеций (число точек деления п = 4).

Решение. Воспользуемся решением примера 47.1. Рассмотрим функцию на отрезке [0; 2], который разбит на четыре части шириной .

В уже созданной в Microsoft Excel таблице в ячейку D4 запишем формулу для расчета приближенного значения определенного интеграла по формуле трапеций (3).

Поскольку шаг равен =0,5, то его нужно умножить на скобку, содержащую полусумму первого и последнего значения функции и сумму всех остальных значений функции из столбца С. Тогда формула в ячейке D4 будет иметь вид: =0.5*((C2+C6)/2+СУММ(C3:C5)).

Расчетная таблица будет следующей:

Полученное по формуле трапеций значение определённого интеграла (4,25) ближе к реальному значению (4), чем значения, вычисленные по формулам прямоугольников. Рассмотрим последний метод – метод парабол - и оценим его точность.

4. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точною формулу вычисления интеграла .

Для использования метода Симпсона число точек деления должно быть четным. Тогда представим . Приведем формулу парабол без вывода:

(4) – формула парабол (Симпсона), где - ширина шага.

Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.

Пример 47.3. Вычислите приближенное значение определенного интеграла по формуле парабол (число точек деления п = 4).

Решение. Воспользуемся решением примера 47.1. Рассмотрим функцию на отрезке [0; 2], который разбит на четыре части шириной .

В уже созданной в Microsoft Excel таблице в ячейку Е4 запишем формулу для расчета приближенного значения определенного интеграла по формуле парабол (4).

Перед скобкой должен стоять множитель . В нашем случае он будет равен . Выражение в скобках представляет собой сумму

• первого и последнего значения функции,

• умноженную на 4 сумму значений функций, имеющих нечетный индекс i,

• умноженную на 2 сумму значений функций, имеющих четный индекс i (за исключением i = п).

Тогда формула в ячейке Е4 будет иметь вид: =0.5/3*(C2+C6+4*(C3+C5)+2*C4).

Расчетная таблица будет следующей:

Видим, что приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по формуле парабол (4) в данном примере совпадает с точным значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница. Из трех рассмотренных нами формул формула парабол дает лучшее приближение определенного интеграла , чем формулы прямоугольников и трапеций.

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2. Какова основная задача численного интегрирования?

3. В чем заключается сущность метода прямоугольников?

4. В чем заключается сущность метода трапеций?

5. В чем заключается сущность метода парабол?

6. Какой из методов численного интегрирования является наименее точным? Наиболее точным?