1. Переход от тригонометрической и показательной формы

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

• - алгебраическая форма (1);

• - тригонометрическая форма (2);

• - показательная форма (3).

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и наоборот, достаточно выделить в записи числа значение модуля r и аргумента φ и подставить их в другую форму.

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения и по таблицам значений тригонометрических функций.

Пример 44.1. Перевести комплексное число в показательную и алгебраическую формы.

Решение. Выделим в записи числа значение модуля r и аргумента φ: , . Подставим их в формулу (3): - показательная форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим и и подставим их в тригонометрическую форму:

= = - алгебраическая форма.

Ответ: , .

Пример 44.2. Перевести комплексное число в тригонометрическую и алгебраическую формы.

Решение. Выделим в записи числа значение модуля r и аргумента φ: , . Подставим их в формулу (2): - тригонометрическая форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим с использованием формул приведения (II четв.) и (II четв.) и подставим их в тригонометрическую форму:

= = - алгебраическая форма.

Ответ: , .

2. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.

Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:

1. Выделить параметры а и b в алгебраической форме .

2. Найти модуль комплексного числа r по формуле: .

3. Для нахождения аргумента φ выполнить вспомогательный чертеж и определить четверть, в которой расположен вектор (а, следовательно, и угол φ).

4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол φ, воспользоваться одной из следующих формул:

Если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то .

5. Подставить найденные значения r и φ в тригонометрическую и показательную формы.

Пример 44.3. Перевести комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Решение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3 . Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 44.1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси Ох угол , следовательно, без применения дополнительных формул делаем вывод, что .

4. Так как r = 6, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Пример 44.4. Перевести комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Р ешение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 44.2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол φ) расположен во второй четверти.

4. Воспользуемся формулой: если четверти, то .

Тогда = = = .

5. Так как r = 2, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Контрольные вопросы:

1. Каким образом осуществляется переход от тригонометрической формы к алгебраической и показательной?

2. Каким образом осуществляется переход от показательной формы к алгебраической и тригонометрической?

3. Приведите формулы для нахождения модуля и аргумента комплексного числа.

4. Каким образом осуществляется переход от алгебраической формы к показательной и тригонометрической?