Чтобы найти любое частное решение системы, достаточно в качестве z взять любое действительное число.

Например, пусть z = 1, тогда тройка чисел (3; -3; 1) будет являться решением исходной системы.

Если z = 0, тогда тройка чисел (1; -2; 0) также будет являться решением исходной системы. И т.д.

Ответ: (2z + 1; -z – 2; z).

Пример 4.4. Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

~

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

Контрольные вопросы:

1. Что называют решением системы линейных уравнений?

2. Какая система линейных уравнений называется совместной? Несовместной?

3. В чем заключается правило Крамера решения системы линейных уравнений?

4. В чем заключается сущность метода Гаусса решения системы линейных уравнений?

5. Какой метод является более общим для решения систем линейных уравнений?

6. Сформулируйте критерий Кронеккера-Капелли совместности системы линейных уравнений.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Геометрия – одна из наиболее древних и ранее других систематизированная ветвь математики. Еще древнегреческие математики изучали различные кривые и подразделяли их на "плоские" (прямая, окружность), "телесные" (определяемые сечением тел - эллипс, парабола, гипербола) и линейные (кривые, определяемые кинематически). Но единых методов решения геометрических задач, связанных с данными кривыми, не существовало. Найти такие методы с целью применения их к изучению важных для практики линий различной формы и была призвана аналитическая геометрия. Аналитическая геометрия позволила применять к решению задач не только геометрические модели, тесно связанные с графическим изображением, но и модели аналитические, позволяющие задать любую линию или поверхность с помощью уравнения.

Главным в становлении аналитической геометрии послужило создание координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значение. Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (3–2 в. до н.э.), заложившего основы теории плоских сечений конуса. Он исследовал их методами алгебры, поэтому может считаться одним из предвестников аналитической геометрии.

Систематическое развитие координатный метод получил в первой половине XVII века в работах французских математиков Пьера Ферма (1601–1665) и Рене Декарта (1596–1650). В 1636 году Ферма написал статью "Введение в изучение плоских и телесных мест". Он выбирал косоугольную систему координат и в ней показывал, что кривая, задающаяся квадратным уравнением, есть коническое сечение - эллипс, парабола или гипербола. Но это произведение долго оставалось в рукописи и не нашло широкого распространения.

Опубликование в 1637 году "Геометрии" Декарта считается датой рождения аналитической геометрии благодаря использованию координатного метода. В "Геометрии" содержалось много нововведений. Именно Декарт стал обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (x, y, z), а коэффициенты – первыми (a, b, c). Он также ввел привычную нам запись степеней: х², х³. Но Декарт и Ферма рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был впервые применен Леонардом Эйлером (1707–1783).

Что же касается понятия "вектора", то для математики оно относительно новое. К середине XIX века оно возникает одновременно в трудах нескольких ученых. Первое векторное исчисление на плоскости развил итальянский ученый Беллавитис (1835), в этом исчислении объектами служили отрезки. В это же время получили известность работы Аргана и Весселя о геометрической интерпретации комплексных чисел. Именно Арган обозначил направленный отрезок черточкой над буквой и ввел понятие "модуля" (от лат. modulus – мера).

Сам термин "вектор" (от лат. vector – несущий) впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805–1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. В созданных Гамильтоном кватернионах необходимо было различать скалярную и векторную часть. Поэтому Гамильтону пришлось ввести такие термины, как "скаляр" (от лат. scale – шкала, лестница), "скалярное произведение". Общепринятые ныне векторы i, j, k также ввел Гамильтон в 1853 году. Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Грассман ввел единичные векторы (е₁, е₂, е₃) и представление вектора в виде: х₁е₁+х₂е₂+х₃е₃.

Англичанин Уильям Клиффорд (1845-1879) сумел объединить эти два подхода в рамках общей теории. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Итак, аналитическая геометрия – раздел математики, в котором изучение геометрических объектов (векторов, прямых, плоскостей, кривых, поверхностей) проводится при помощи их аналитических моделей.