2. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля.

Это решение находится по правилу Крамера:

где ∆ – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

∆_х получается из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при x столбцом свободных членов;

∆_у получается из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при у столбцом свободных членов;

∆_z получается из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при z столбцом свободных членов.

Пример 4.1. Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Р ешение. Составим определитель ∆ из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель ∆ отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим ∆_х, ∆_у и ∆_z:

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

Для нахождения числа решений системы n линейных уравнений с n неизвестными можно использовать следующую блок-схему:

…

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

1. Число уравнений не равно числу неизвестных.

2. Если в правиле Крамера ∆ = ∆_х= ∆_у = ∆_z= 0.

Введем следующие понятия:

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

Матрица B, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули.

Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную, с помощью обратного хода получают значения всех неизвестных.

Пример 4.2. Решите систему уравнений методом Гаусса:

Р ешение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к треугольному виду:

Поменяем местами первую и трелью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: z = 1.

Подставим z = 1 во второе уравнение системы: y – 1 = 1; y = 2.

После подстановки z = 1 и y = 2 в первое уравнение получим: x + 4·2 - 3·1 = 9;

x = 9 – 8 + 3; x = 4. Итак, x = 4, y = 2, z = 1.

Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: x = 4, y = 2, z = 1.

4. Критерий Кронеккера-Капелли совместности систем линейных уравнений.

   Ответ на вопрос о существовании решений системы линейных уравнений и о количестве возможных решений дает следующая теорема:

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений):

Система линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы:

r(А) = r(В) = r, причем

1. если r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;

2. если r < n (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 4.3. Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

~

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум (r(А) = r(В) = 2). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (3), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть z – свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим x и y через z:

y = -z - 2;

x = -2у – 3; x = -2·(-z - 2) – 3; x = 2z + 4 – 3; x = 2z + 1.

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: (2z + 1; -z – 2; z).