3. Понятие ранга матрицы.

Для нахождения ранга матрицы ее нужно привести к ступенчатому виду: под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижних строках:

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Ранг матрицы обозначается r(А).

Приведение матрицы к ступенчатому виду осуществляется с помощью элементарных преобразований:

• умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

• замена строк столбцами и наоборот;

• перестановка местами параллельных рядов;

• вычеркивание нулевого ряда;

• прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих эле­ментов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначаются А ~ В.

Для упрощения вычислений на первое место лучше ставить ту строку, в которой первый элемент равен 1.

Пример 3.3. Найдите ранг матрицы А= .

Решение: Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы первый элемент первой строки был равен 1:

Первую строку больше преобразовывать не будем.

Для того, чтобы первый элемент второй строки был равен нулю, прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Д ля того, чтобы первый элемент третьей строки был равен нулю, прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-5):

Для того, чтобы матрица имела ступенчатый вид, необходимо, чтобы второй элемент третьей строки был равен 0. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-2):

В ычеркнем нулевую строку. В результате элементарных преобразований получили матрицу:

Число ненулевых строк в полученной матрице равно двум, следовательно, ее ранг равен 2, т.е. r(А) = 2.

Ответ: r(А) = 2

Контрольные вопросы:

1. Какая матрица называется невырожденной?

2. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы?

4. Чему равен ранг матрицы?

5. Какие матрицы называются эквивалентными?

6. Какие преобразования матриц относятся к элементарным преобразованиям?

Лекция 4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений по правилу крамера и методом гаусса.

План:

1. Понятие решения системы линейных уравнений.

2. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

4. Критерий Кронеккера-Капелли совместности систем линейных уравнений.

1. Понятие решения системы линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Решением системы называется совокупность чисел ( ), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Система n линейных уравнений с n неизвестными может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или не иметь решений вообще.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим основные методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными:

• правило Крамера;

• метод Гаусса.