2. Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот (свойство равноправности строк и столбцов).

= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁

2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак на противоположный.

= а₁₂ а₂₁ - а₁₁ а₂₂ = -(а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁) = -

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Следствие: Если элементы двух строк или столбцов определителя пропор­циональны, то определитель равен нулю.

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Для каждого элемента определителя можно вычислить его минор.

Минором элемента а_ij определителя п-го порядка называется новый определитель порядка (п-1), полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij.

Минор элемента а_ij обозначают М_ij.

Пример 2.4. Найдите все миноры определителя

Решение:

получаем вычеркиванием из определителя 1-й строки и 1-го столбца; = 4;

получаем вычеркиванием из определителя 1-й строки и 2-го столбца; = 3;

получаем вычеркиванием из определителя 2-й строки и 1-го столбца; = -1;

получаем вычеркиванием из определителя 1-й строки и 1-го столбца; = 2.

О твет: = 4; = 3; = -1; = 2.

Пример 2.5. Найдите миноры элементов второй строки определителя

Решение: - получаем вычеркиванием из определителя 2-й строки и 1-го столбца:

.

Аналогично:

.

.

Ответ: = -5; = 11; = 4.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.

А лгебраическое дополнение элемента а_ij обозначают А_ij.

Таким образом, А_ij = (-1)^{i+ j} ·М_ij.

Пример 2.6. Найти все алгебраические дополнения определителя

Решение:

Воспользуемся решением примера 2.4: = 4; = 3; = -1; =2.

;

;

;

.

Ответ: А₁₁ = 4, А₁₂ = -3, А₂₁ = 1, А₂₂ = 2.

Пример 2.7. Найдите алгебраические дополнения элементов второй строки

определителя

Решение:

Ответ: А₂₁ = 5, А₂₂ = 11, А₂₃ = -4.

4. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элемен­тов любой строки или столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Рассмотрим разложение определителя по i-й строке:

Разложение определителя no j-му столбцу:

Данная теорема позволяет вычислять определитель по любой строке или по любому столбцу. Важно помнить, что, вычисляя определитель разными способами, ответ должен быть одним и тем же. В качестве ряда, по которому будет раскрываться определитель, целесообразно выбирать ряд, содержащий большее количество нулей.

Пример 2.8. Вычислите определитель:

а) по первой строке;

б) по второму столбцу.

Решение:

Раскроем определитель по первой строке:

Разложим определитель по второму столбцу:

При разложении определителя по первой строке и второму столбцу получили одинаковые значения: |A| = -5.

Ответ: |A| = -5.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет вычислять определители более высоких порядков (п) сведением их к определителям более низких порядков (п-1).

Пример 2.9. Вычислите определитель четвертого порядка

Решение: Раскроем определить по первой строке:

Вычислим каждый из определителей третьего порядка отдельно:

Получим, что

Ответ: |A| = -33.