3. Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Р ассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [a;b]. С помощью метода сумм (лекция 21) выводятся две важные формулы:

1. Длина дуги l кривой АВ, заданной на отрезке [a;b] (рис. 23.6) при условии непрерывности f`(x), выражается формулой: .

Пример 23.3. Найдите длину дуги линии от точки А(0; 0) до точки В(1; 1).

Р ешение. Для вычисления длины дуги l воспользуемся формулой: .

В качестве f(x) берем функцию f(x)= , а=0, b=1 (рис. 23.7). Тогда f`(x)= = , и = . Представим квадратный корень в виде степени: = . Вычислим данный интеграла как интеграл от некоторой сложной функции: = = = = = - = = = Ответ: l = .

2. Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком [a;b], прямыми х=а и х=b (рис. 23.8), выражается формулой: .

О бъем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=φ(у)≥0, прямыми у=с, у=d, х=0 (рис. 23.9), выражается формулой: .

Пример 23.4. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиком функции , осью Ох, прямой х=1.

Р ешение. Построим фигуру, ограниченную графиком функции , осью Ох, прямой х=1 (на рис. 23.10 обозначена штриховкой). При ее вращении вокруг оси Ох получаем тело вращения (рис. 23.10). Для вычисления его объема воспользуемся формулой: .

В нашем примере а=0, b=1, . Тогда = = = = = . Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2. Какие основные виды фигур, площадь которых вычисляется с помощью определенного интеграла, существуют?

3. Как найти длину дуги плоской кривой?

4. Приведите формулы для расчета объемов тел, полученных вращением фигур вокруг осей Ох и Оу.

Лекция 24. Несобственные интегралы

План:

1. Понятие несобственного интеграла

2. Несобственные интегралы I рода.

3. Несобственные интегралы II рода.

1. Понятие несобственного интеграла

Несобственными будем считать интегралы двух видов:

1. Определённые интегралы от непрерывной функции, у которых один или оба пределы интегрирования равны бесконечности: , , . Их называют несобственными интегралами I рода.

2. Определённые интегралы от разрывной функции с конечными пределами интегрирования. Их называют несобственными интегралами II рода.

Рассмотрим нахождение обоих видов несобственных интегралов.

2. Несобственные интегралы I рода.

Пусть задана функция y=f(x), непрерывная на промежутке [a;+∞). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению = .

Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Г еометрический смысл несобственного интеграла I рода заключается в следующем: если сходится (при условии, что f(x)≥0), то он представляет собой площадь "бесконечно длинной" криволинейной трапеции (рис. 24.1).

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования для непрерывной на промежутке (-∞;b] функции: = .

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой: = + , где с – произвольное число.

Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.

Пример 24.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: .

Решение. Для нахождения несобственного интеграла с бесконечной верхней границей от непрерывной функции воспользуемся формулой: = . Тогда = . Сначала вычислим интеграл от е^х:

= = = =∞. Получили, что несобственный интеграл расходится.

Ответ: расходится.

Пример 24.2. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: .

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на промежутке (-∞;-1]. Для нахождения несобственного интеграла I рода с бесконечной нижней границей воспользуемся формулой: = . Тогда = . Вычислим интеграл, содержащийся под знаком предела: = . Избавимся от знака "минус", поменяв границы интегрирования местами:

= = = =1. Получили, что рассматриваемый несобственный интеграл сходится.

Ответ: =1.