2. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:

1. Построить фигуру, площадь которой требуется найти.

2. В соответствии с таблицей 23.1. определить вид фигуры и составить формулу для вычисления площади фигуры. Следует обратить внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы интегрирования следует находить аналитически, приравнивая соответствующие функции.

3. В ычислить площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.

При составлении таблицы 23.1. учитывалось свойство аддитивности площади: если фигура состоит из двух и более частей, то для нахождения площади фигуры нужно сложить площади ее частей (рис. 23.3).

Таблица 23.1

Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла

№	Вид фигуры	Площадь фигуры	№	Вид фигуры	Площадь фигуры
1		Фигура расположена выше оси Ох (криволинейная трапеция) S=	4		Часть фигуры, огран. графиками двух функций, находится выше, а часть ниже оси Ох S= -
2		Фигура расположена ниже оси Ох S= или S=	5		Фигура ограничена графиками двух неотрицательных функций S= +
3		Часть фигуры, огран. графиком одной функции, находится выше, а часть ниже оси Ох S= +	6		Фигура ограничена графиками двух неотрицательных функций S=

Пример 23.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , отрезком оси Ох, прямыми и .

Решение. 1. Построим заданную фигуру. График функции - синусоида, строится с использованием следующих характерных точек:

х		0		π
у	0	1	0	-1

П рямые и проходят через соответствующие точки и параллельны оси Оу. В итоге получим фигуру, обозначенную штриховкой на рис. 23.4.

2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 3 типу. Её площадь находится как сумма площадей двух частей фигуры: части, находящейся выше оси Ох, и части, находящейся ниже оси.

Площадь части, находящейся выше оси Ох, можно найти по формуле S₁= .

Площадь части, находящейся ниже оси Ох, можно найти по формуле S₂= .

Вычислим S₁ и S₂: S₁= = = - = + = .

S₂= = = = - =1-0=1.

Для нахождения общей площади S, сложим значения S₁ и S₂: S = S₁ + S₂ = =2,5.

Ответ: S =2,5.

Пример 23.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Р ешение. 1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением - прямая. Построим ее по двум точкам.

х	0	-3
у	3	0

Линия, задаваемая уравнением - парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции на 1 единицу вверх.

Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций.

2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 6 типу. Её площадь можно вычислить по формуле: S= , где f(x) – функция, ограничивающая фигуру "сверху" ( ), а g(x) - функция, ограничивающая фигуру "снизу" ( ).

Границы интегрирования а и b в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение , мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е. а и b.

; . Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета: х₁=-1 или х₂=2. Следовательно, а=-1, b=2.

Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: S= .

3. Вычислим значение площади: S= = = = = = = = = = = = =4,5.

Ответ: S =4,5.