3. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла практически не отличается от аналогичной формулы для неопределенного интеграла, только добавляются границы интегрирования: .

Рекомендации по выбору u и dv, а также алгоритм нахождения интеграла методом по частям были подробно разобраны в лекции 19. Рассмотрим примеры применения метода интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 22.4. Найдите .

Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид , следовательно, за и принимают многочлен (и=х), остальные множители – за dv: dv= dx.

2. Находим dи=и'dx: dи=х'dx=dx.

Находим : = (интеграл от некоторой сложной функции, полагаем С=0).

3. По формуле имеем: = - = = + . Вычислим каждое слагаемое выражения отдельно:

= = - =0- = .

= = - = -9 = .

Тогда исходный интеграл равен = + = .

Ответ: = .

Контрольные вопросы:

1. Какие основные методы нахождения определенных интегралов существуют?

2. Какая формула является необходимой для вычисления любого определенного интеграла?

3. Как вычисляются определенные интегралы от некоторых сложных функций?

4. Проанализируйте, чем отличается метод интегрирования подстановкой в определенном и неопределенном интеграле.

5. В чем сущность метода интегрирования по частям в определенном интеграле?

Лекция 23. Приложения определенного интеграла в геометрии

План:

1. Геометрический смысл определенного интеграла

2. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

3. Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

1. Геометрический смысл определенного интеграла.

Г еометрический смысл определенного интеграла связан с понятием криволинейной трапеции.

Р

х=b

ассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [a;b] и принимающую на нем неотрицательные значения (f(x)≥0). Фигуру, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), сбоку – прямыми х=а и х=b, снизу – отрезком [a;b] оси Ох, называют криволинейной трапецией (рис. 23.1).

В спомним принцип введения определенного интеграла. Мы составляли интегральные суммы Sn, задающиеся формулой: Sn= .

Поскольку на отрезке [a;b] функция y=f(x) принимает неотрицательные значения, то каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием Δх_i и высотой f(ξ_i) (i=1,2,…,п). А вся сумма Sn равна площади "ступенчатой фигуры", получающейся объединением рассматриваемых прямоугольников (рис. 23.2).

Обозначим площадь искомой криволинейной трапеции S. Она приближенно будет равна площади ступенчатой фигуры Sn: S ≈ Sn = . Чем меньше будет длина каждого отрезка Δх_i, тем точнее приближение. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда п неограниченно возрастает так, что λ=maxΔх_i→0.

Итак, S= = , а это есть ни что иное, как определенный интеграл . Получили, что S= . Следовательно, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми х=а и х=b, отрезком [a;b] оси Ох. В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.