3. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию у=f(x), непрерывную на отрезке [a;b]. Пусть F(x) – какая либо первообразная f(x) на отрезке [a;b]. Тогда имеет место формула, получившая название формула Ньютона-Лейбница: = .

Формула Ньютона-Лейбница даёт удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a;b] функции, нужно:

1. Найти неопределенный интеграл от функции f(x), выбрав С=0. Справа поставить вертикальную черту, рядом с которой указать верхнюю и нижнюю границы интегрирования.

2. В полученное выражение вместо х следует подставить сначала верхнюю границу b, поставить знак "минус", подставить в выражение вместо х нижнюю границу а.

Отметим, что неопределенный интеграл от непрерывной функции f(x) – множество функций, отличающихся друг от друга на число С, а определенный интеграл от непрерывной функции f(x) – действительное число.

Рассмотрим пример вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 21.1. Вычислите .

Решение. Сначала найдем неопределенный интеграл от заданной функции, выбрав С=0 и добавив границы интегрирования: = .

Подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования: = - =9+27-9- = = . Ответ: = .

Контрольные вопросы:

1. Что называют интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]? Сколько интегральных сумм для данной функции на отрезке [a;b] можно составить?

2. Что называют определенным интегралом ?

3. Какими свойствами обладает определенный интеграл?

4. Для чего служит формула Ньютона-Лейбница?

5. Какова глобальные отличия определенного интеграла от неопределенного?

Лекция 22. Методы вычисления определенного интеграла

План:

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

3. Интегрирование по частям.

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: = . Этот метод применяется во всех случаях, когда может быть найдена первообразная F(х) для подынтегральной функции f(х).

Пример 22.1. Вычислите .

Решение. Сначала найдем неопределенный интеграл от заданной функции как интеграл от некоторой сложной функции, добавив границы интегрирования: = .

Подставим сначала верхнюю, потом нижнюю границы интегрирования: = = - = - = + =2∙1+ = .

Ответ: = .

2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной. Пусть требуется вычислить интеграл от сложной функции . Как и для неопределенного интеграла, сделаем подстановку u=g(х). Тогда . Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Алгоритм вычисления определенных интегралов методом замены переменной практически не отличается от алгоритма метода замены переменной для неопределенных интегралов (лекция 19). Отметим два принципиальных различия:

1. В определенном интеграле обязательной является смена границ интегрирования. Новая нижняя граница интегрирования будет равна u₁=g(а), а новая верхняя граница u₂=g(b).

2. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

Рассмотрим применение метода замены переменной в определенном интеграле.

Пример 22.2. Вычислите .

Решение. 1. Выполним подстановку u=1-cosx с целью прийти к интегралу от функции f(u)= .

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(1-cosx)'dx =sinxdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=sinxdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл (пока неопределенный): = . Видим, что sinх можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Вычислим новые границы интегрирования для переменной и. Для этого подставим существующие границы (π, ) в выражение u=1-cosx.

Тогда нижняя граница u₁=1- =1-0=1; верхняя граница u₂=1-cosπ=1-(-1)=2.

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид: .

6. Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что = . Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять границы интегрирования, при этом избавляясь от знака "минус" перед определенным интегралом ( =- ). Тогда = = . Еще раз отметим, что к переменной х после смены границ интегрирования возвращаться не нужно!

Ответ: = .

Пример 22.3. Вычислите .

Решение. 1. Выполним подстановку u=lnx с целью прийти к интегралу от функции f(u)=и².

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(lnx)'dx = dx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du= dx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл (пока неопределенный): = . Видим, что х можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Вычислим новые границы интегрирования для переменной и. Для этого подставим существующие границы (1, e) в выражение u= lnx.

Тогда нижняя граница u₁= ln1=0; верхняя граница u₂= lne=1.

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид: .

6. Вычислим полученный интеграл: = ==1³-0=1.

Ответ: =1.