Лекция 21. Определенный интеграл

План:

1. Понятие определенного интеграла.

2. Основные свойства определенного интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Понятие определенного интеграла.

П усть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b].

Выполним следующие действия (рис. 21.1).

1. С помощью точек х_о=а, х₁, х₂,…, х_п=b разобьём отрезок [a;b] на п частей (х_о<х₁<х₂<…<х_п). Длину первого отрезка обозначим Δх₁, второго – Δх₂…, п-го – Δх_п.

2. Внутри каждого отрезка [х_о;х₁], [х₁;х₂] …

[х_п-1;х_п] выберем соответственно произвольные точки ξ₁, ξ₂,…, ξ_п.

3. Найдем значения функции в точках ξ₁, ξ₂,…, ξ_п: f(ξ₁), f(ξ₂),…, f(ξ_п).

4. Для каждого промежутка умножим найденное значение функции f(ξ_i) (где i=1,2,…,п) на длину соответствующего отрезка Δх_i: f(ξ_i)∙ Δх_i.

5. Составим сумму Sn всех таких произведений: Sn= f(ξ₁)∙ Δх₁+ f(ξ₂)∙ Δх₂+…+ f(ξ_п)∙ Δх_п. Эту сумму можно записать в виде: Sn= . Такую сумму называют интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Если на отрезке [a;b] функция y=f(x) принимает неотрицательные значения, то каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием Δх_i и высотой f(ξ_i). А вся сумма Sn равна площади "ступенчатой фигуры", получающейся объединением рассматриваемых прямоугольников.

Мы разбивали отрезок [a;b] на произвольное число частей, точку ξ_i внутри каждого отрезка также выбирали произвольно. Очевидно, что при различных разбиениях отрезка [a;b] на части и различном выборе точек ξ_i можно составить бесконечное число интегральных сумм.

Найдем предел интегральной суммы Sn при п , но при условии, что длина самого большого среди отрезков Δх_i (λ=maxΔх_i, где i=1,2,…,п) будет стремиться к нулю, т.е. λ→0.

Если при п и λ→0 интегральная сумма Sn имеет предел А, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек ξ_i, то число А называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

Таким образом, = .

Числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [a;b] – областью (отрезком) интегрирования.

Функция f(x), для которой на отрезке [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема (Коши). Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует.

2. Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая функцию у=f(x), непрерывной (и, следовательно, интегрируемой) на отрезке [a;b].

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: (k – const).

Докажем это свойство. По определению = =k = , что и требовалось доказать.

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме их интегралов: = ± .

3. Границы интегрирования можно менять местами, при этом знак "минус" выносится вперед: = .

Свойства 1, 2 и 3 широко применяются при вычислении определенных интегралов.

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

5. Если функция у=f(x) интегрируема на отрезке [a;b] и a<c<b, то справедливо равенство: = + .

Это означает, что интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Данное свойство называют свойством аддитивности определенного интеграла.

6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b] (a<b), то интеграл имеет тот же знак, что и функция f(x). Так, если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то и ≥0.

7. Неравенство между интегрируемыми функциями на отрезке [a;b] (a<b) можно интегрировать: например, если f(x)≥g(x) при [a;b], то ≥ .