2. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Рассмотрим нахождение неопределенных интеграл от следующих типов иррациональных функций: и (а,b,c – const). Для их нахождения будем использовать метод выделения полного квадрата в иррациональном выражении. Тогда рассматриваемые интегралы можно будет привести к видам: ,

или

.

Разберем нахождение интегралов от некоторых иррациональных функций на конкретных примерах.

Пример 20.4. Найдите интеграл .

Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 2х представляем как удвоенное произведение 2∙1∙х. Тогда к выражению х²+2х следует добавить квадрат единицы (х² + 2х + 1 = (х + 1)²) и вычесть 1. Получим цепочку преобразований:

= = .

Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х + 1 = и, тогда . Подставим и, dx в полученный интеграл: = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а=4. Получим, что . Подставим вместо и выражение х+1:

= .

Ответ: = .

Пример 20.5. Найдите интеграл .

Решение. Попытаемся выделить под знаком корня полный квадрат. Для этого 8х представляем как удвоенное произведение 2∙4∙х. Тогда к выражению х²-8х следует добавить квадрат четырех (х² - 8х + 16 = (х - 4)²) и вычесть его. Получим цепочку преобразований:

= =

Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х - 4 = и, тогда . Подставим и, dx в полученный интеграл: = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а=3. Получим, что . Подставим вместо и выражение х-4:

= .

Ответ: = .

3. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Если требуется найти неопределенный интеграл от функции, содержащей sinx и cosx, которые связаны только операциями сложения, вычитания, умножения или деления, то можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку.

Суть этой подстановки заключается в том, что sinx и cosx можно выразить через тангенс половинного угла следующим образом: , . Тогда, если ввести подстановку , то sinx и cosx будут выражены через t следующим образом: , . Осталось выразить х через t и найти dх.

Если , то . Найдем dх: = .

Итак, для применения универсальной подстановки достаточно обозначить sinx и cosx через t (формулы выделены в рамке), а dх записать как . В итоге под знаком интеграла должна получиться рациональная функция, интегрирование которой рассматривалось в пункте 1. Обычно метод применения универсальной подстановки весьма громоздкий, но он всегда приводит к результату.

Рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки.

Пример 20.6. Найдите интеграл .

Решение. Применим универсальную подстановку , тогда , , dх= . Следовательно, = = = = = .

Заменив дробную черту знаком ":", получим: = = = = . Этот интеграл решается выделением в знаменателе полного квадрата. Для этого t представляем как удвоенное произведение 2∙ ∙t. Тогда к выражению t²+t следует добавить квадрат одной второй (t² + t + = (х - )²) и вычесть его. Получим цепочку преобразований:

= = . Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим t + = и, тогда . Подставим и, dt в полученный интеграл: = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а= . Тогда = . Поскольку и=t+ , то = = . И, наконец, возвращаемся к переменной х: . Получим, что =

Ответ: = .

Еще раз хочется отметить, что задача нахождения неопределенных интегралов от различных функций очень сложна. И хотя всякая непрерывная функция имеет первообразную (а, следовательно, и неопределенный интеграл), среди всего многообразия неопределенных интегралов лишь малая толика выражается через элементарные функции (говорят, такие интегралы "берутся").

Существует множество интегралов, которые называют "неберущимися". Такие интегралы не выражаются через привычные нам элементарные функции. Так, например, нельзя взять интеграл , т.к. не существует элементарной функции, производная которой была бы равна . Но некоторые из "неберущихся" интегралов имеют большое прикладное значение. Так интеграл называют интегралом Пуассона и широко применяют в теории вероятностей.

Существуют и другие важные "неберущиеся" интегралы: - интегральный логарифм (применяется в теории чисел), и - интегралы Френеля (применяются в физике). Для них составлены подробные таблицы значений при различных значениях аргумента х.

Контрольные вопросы:

1. Какими методами находятся интегралы от следующих видов дробно-рациональных функций: , , ?

2. В чем сущность интегрирования некоторых иррациональных функций и ?

3. Когда применяется универсальная тригонометрическая подстановка? Можно ли ее применить для нахождения интеграла вида ?

4. Любой ли интеграл может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций?