Лекция 20. Интегрирование рациональных и иррациональных функций. Универсальная подстановка

План:

1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

2. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

3. Универсальная тригонометрическая подстановка.

1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что функция вида Р(х)=а_ох^п+ а₁х^п-1+ а₂х^п-2+…+ а_п-1х^п+ а_п, где , а_о, а₁…а_п – постоянные коэффициенты, называется многочленом или рациональной функцией. Число п называют степенью многочлена.

Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. .

Рассмотрим некоторые простейшие интегралы от дробно-рациональных функций:

1.1. Для нахождения интегралов вида (А - const) будем пользоваться интегралами от некоторых сложных функций: = .

Пример 20.1. Найдите интеграл .

Решение. Воспользуемся приведенной выше формулой = . Получим, что = .

1.2. Для нахождения интегралов вида (А - const) будем применять метод выделения в знаменателе полного квадрата. Исходный интеграл в результате преобразований сведется к одному из двух табличных интегралов: или .

Рассмотрим вычисление таких интегралов на конкретном примере.

Пример 20.2. Найдите интеграл .

Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат, т.е. прийти к формуле (a ± b)² = a² ± 2ab +b².

Для этого 4х представляем как удвоенное произведение 2∙2∙х. Следовательно, к выражению х² + 4х чтобы получить полный квадрат следует добавить квадрат числа два, т.е. 4: х² + 4х + 4 = (х + 2)². Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из (х + 2)² вычесть 4. Получим следующую цепочку преобразований:

= = .

Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х + 2 = и, тогда . Подставим и и dx в полученный интеграл: = = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а=3. Получим, что = . Подставим вместо и выражение х+2:

= = .

Ответ: = .

1.3. Для нахождения интегралов вида (M, N - const) будем применять следующий алгоритм:

1. Выделим в знаменателе полный квадрат.

2. Выражение, стоящее в скобках, обозначим новой переменной t. Найдем х, dx и подставим их вместе с t в исходный интеграл (получим интеграл, содержащий только переменную t).

3. Разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых вычислим отдельно: один интеграл решается методом подстановки, второй сводится к одной из формул или .

Пример 20.3. Найдите интеграл .

Решение. 1. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 6х представляем как удвоенное произведение 2∙3∙х. Тогда к выражению х² - 6х следует добавить квадрат числа три, т.е. число 9: х² – 6х + 9 = (х - 3)². Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из (х-3)² вычесть 9. Получим цепочку преобразований:

= = .

2. Введем следующую подстановку: пусть х-3=t (значит, х=t+3), тогда . Подставим t, х, dx в интеграл :

= = = .

3. Представим полученный интеграл как сумму двух интегралов:

= + . Найдем их отдельно.

3.1 Первый интеграл вычисляется методом подстановки. Обозначим знаменатель дроби , тогда . Отсюда . Подставляем и и dt в интеграл и приводим его к виду: = = =ln|u|+C= =ln|t²+16|+C. Осталось вернуться к переменной х. Поскольку , то ln|t²+16|+C = ln|х²-6х+25|+C.

3.2 Второй интеграл вычисляется по формуле: (где а=4). Тогда = = .

3.3 Исходный интеграл равен сумме интегралов, найденных в пунктах 3.1 и 3.2: = ln|х²-6х+25|+ .

Ответ: = ln|х²-6х+25|+ .

Методы интегрирования других рациональных функций рассматриваются в полном курсе математического анализа (см., например, Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1- М.:Айрис-пресс, 2006.).